Водородный атом состоит из одного протона и одного электрона, взаимодействующих посредством кулоновской силы. Потенциальная энергия взаимодействия между электроном и протоном в сферических координатах имеет вид:
$$ V(r) = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}, $$
где e — элементарный заряд, ε0 — электрическая постоянная, r — расстояние между протоном и электроном.
Задача нахождения энергетических уровней атома водорода сводится к решению стационарного уравнения Шрёдингера для электрона в центральном поле.
Стационарное уравнение Шрёдингера имеет следующий вид:
Ĥψ(r) = Eψ(r),
где гамильтониан Ĥ состоит из кинетической и потенциальной энергии:
$$ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2 - \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 r}. $$
Здесь $\mu = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$ — приведённая масса системы, поскольку рассматривается задача двух тел.
Оператор Лапласа в сферических координатах:
$$ \nabla^2 = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}. $$
Пусть ψ(r, θ, φ) = R(r)Y(θ, φ), где Y(θ, φ) — сферические гармоники, собственные функции оператора момента импульса:
L̂2Ylm = ℏ2l(l + 1)Ylm, L̂zYlm = ℏmYlm.
Радиальное уравнение после разделения переменных принимает вид:
$$ \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{dR}{dr} \right) - \frac{l(l+1)}{r^2} R + \frac{2\mu}{\hbar^2} \left( E + \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \right) R = 0. $$
Вводится замена:
u(r) = rR(r),
тогда уравнение упрощается до одномерного:
$$ \frac{d^2 u}{dr^2} + \left[ \frac{2\mu}{\hbar^2} \left( E + \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \right) - \frac{l(l+1)}{r^2} \right] u = 0. $$
Для больших r потенциал стремится к нулю, уравнение принимает форму:
$$ \frac{d^2 u}{dr^2} + \frac{2\mu E}{\hbar^2} u \approx 0. $$
Поскольку E < 0, решение экспоненциально затухающее:
$$ u(r) \sim e^{-\kappa r}, \quad \kappa = \sqrt{-\frac{2\mu E}{\hbar^2}}. $$
Для малых r доминирует центробежный член, и уравнение упрощается:
$$ \frac{d^2 u}{dr^2} - \frac{l(l+1)}{r^2} u \approx 0 \Rightarrow u(r) \sim r^{l+1}. $$
Общее решение ищется в виде:
u(r) = rl + 1e−κrF(r),
где F(r) — полином, обеспечивающий полиномиальное поведение на промежуточных расстояниях. Подстановка в уравнение приводит к дифференциальному уравнению для F(r), которое решается при условии, что F(r) — полином конечной степени. Это квантование обеспечивает дискретность энергий.
В результате решения получаем энергетические уровни:
$$ E_n = -\frac{\mu e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots $$
Часто выражается через постоянную Ридберга:
$$ E_n = -\frac{R_y}{n^2}, \quad R_y \approx 13.6\, \text{эВ}. $$
Каждому значению n соответствует:
Полный вид волновых функций:
ψnlm(r, θ, φ) = Rnl(r)Ylm(θ, φ),
где радиальная часть выражается через обобщённые лагерровы полиномы:
$$ R_{n l}(r) = \sqrt{\left( \frac{2}{n a_0} \right)^3 \cdot \frac{(n - l - 1)!}{2n [(n + l)!]}} \cdot e^{-\rho/2} \rho^l L_{n - l - 1}^{2l+1}(\rho), \quad \rho = \frac{2r}{n a_0}, $$
где $a_0 = \frac{4\pi \varepsilon_0 \hbar^2}{\mu e^2}$ — боровский радиус.
Вероятность нахождения электрона в тонком сферическом слое радиуса r описывается радиальной плотностью вероятности:
P(r) = |Rnl(r)|2r2.
Максимум P(r) определяет наиболее вероятное расстояние от ядра. Например, для основного состояния (n = 1, l = 0) оно равно a0.
Переходы между уровнями сопровождаются испусканием или поглощением фотонов с энергией:
$$ \hbar \omega = E_{n'} - E_n = R_y \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{{n'}^2} \right). $$
Это даёт спектральные серии: Лаймана (n = 1), Бальмера (n = 2), Пашена (n = 3) и т.д.
С учётом релятивистских поправок и спин-орбитального взаимодействия уровни Enl расщепляются. Тонкая структура описывается в рамках уравнения Дирака и влечёт зависимости энергий от полного момента $j = l \pm \tfrac{1}{2}$.
Приведённое выражение для поправки:
$$ \Delta E_{n j} = \frac{E_n \alpha^2}{n} \left( \frac{n}{j + \tfrac{1}{2}} - \frac{3}{4} \right), $$
где α — постоянная тонкой структуры.
Во внешнем магнитном поле уровни расщепляются за счёт взаимодействия магнитного момента электрона с полем (эффект Зеемана), а во внешнем электрическом — за счёт поляризации атома (эффект Штарка). Эти явления важны для анализа спектров в лабораторных и астрофизических условиях.
Гамильтониан атома водорода обладает полной сферической симметрией и случайной дополнительной симметрией, связанной с вектором Рунге–Ленца. Именно благодаря этой симметрии возникает вырождение по l: все уровни с одинаковым n, но разными l, имеют одинаковую энергию (в нерелятивистском приближении).
Атом водорода служит фундаментальной моделью в квантовой механике. Его точное решение демонстрирует богатую структуру квантовых состояний, проявление дискретности энергии, значимость симметрий и лежит в основе понимания сложных атомных систем.