Метрика и свойства черных дыр
Рассмотрим вакуумные решения уравнений Эйнштейна, обладающие сферической симметрией. Классическое и наиболее важное из них — решение Шварцшильда, описывающее пространство-время вне сферически симметричного невращающегося объекта.
Метрика Шварцшильда в координатах (t, r, θ, φ) имеет вид:
$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2r}\right) c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\, d\varphi^2 $$
Здесь M — масса тела, G — гравитационная постоянная, c — скорость света. Радиус $r_s = \frac{2GM}{c^2}$ называется гравитационным радиусом или радиусом Шварцшильда. Он определяет горизонт событий: поверхность, за пределами которой никакие сигналы не могут выйти наружу.
Особенность в r = rs — координатная: можно показать, что сингулярность метрики в этой точке устранима с помощью выбора других координат (например, координат Крушкала–Секереша). Истинная сингулярность возникает при r = 0, где инвариантные характеристики кривизны, такие как скаляр Крейца–Кармана:
$$ K = R_{\mu\nu\rho\sigma} R^{\mu\nu\rho\sigma} \propto \frac{1}{r^6} $$
становятся бесконечно большими.
Горизонт событий и каузальная структура
Поверхность r = rs — граница между двумя областями пространства-времени: внешней (r > rs) и внутренней (r < rs). Для наблюдателя, падающего внутрь черной дыры, достижение горизонта происходит за конечное собственное время. Для внешнего наблюдателя приближение объекта к горизонту асимптотически замедляется и никогда не доходит до него за конечное координатное время t.
Внутри горизонта все возможные мировые линии устремлены к r = 0, то есть сингулярность становится неизбежной. Ни один сигнал не может быть отправлен наружу: световые конусы “наклонены” внутрь. Это — сущностная особенность черной дыры.
Вращающиеся и заряженные черные дыры
Более общие решения уравнений Эйнштейна включают вращение (метрика Керра) и электрический заряд (метрика Рейснера–Нордстрема). Метрика Керра описывает стационарную осесимметричную черную дыру с угловым моментом J. В координатах Бойера–Линдквиста:
$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GMr}{\rho^2 c^2}\right) c^2 dt^2 - \frac{4GMar \sin^2\theta}{\rho^2 c^3} dt\, d\varphi + \frac{\rho^2}{\Delta} dr^2 + \rho^2 d\theta^2 + \left(r^2 + \frac{a^2}{c^2} + \frac{2GMa^2 r \sin^2\theta}{\rho^2 c^4} \right) \sin^2\theta\, d\varphi^2 $$
где:
$$ \rho^2 = r^2 + \frac{a^2}{c^2} \cos^2\theta, \quad \Delta = r^2 - \frac{2GMr}{c^2} + \frac{a^2}{c^2} $$
Параметр $a = \frac{J}{Mc}$ определяет характер вращения. При a = 0 метрика Керра переходит в метрику Шварцшильда.
Метрика Керра содержит две характерные поверхности:
Эргосфера позволяет извлекать энергию из вращающейся черной дыры (процесс Пенроуза).
Классификация черных дыр и теорема о “безволосости”
В классической общей теории относительности черные дыры полностью характеризуются только тремя параметрами:
Эта идея формализована в теореме о безволосости: все остальное (форма, распределение вещества, магнитные поля и т. д.) не влияет на внешнее гравитационное поле в установившемся состоянии.
Таким образом, возможны три типа решений:
Термодинамика черных дыр
Изучение процессов вблизи горизонта событий привело к возникновению термодинамики черных дыр, основанной на аналогии между законами механики горизонта и законами термодинамики.
Основные законы формулируются следующим образом:
$$ dM = \frac{\kappa}{8\pi G} dA + \Omega_H dJ + \Phi_H dQ $$
где A — площадь горизонта, κ — поверхностная гравитация, ΩH — угловая скорость горизонта, ΦH — электростатический потенциал.
Второй закон (закон Хокинга): площадь горизонта событий никогда не уменьшается при классических процессах, аналогично энтропии.
Третий закон: невозможно достичь состояния κ = 0 (экстремальная черная дыра) за конечное число операций.
Работы Бекенштейна и Хокинга показали, что черные дыры обладают энтропией, пропорциональной площади горизонта:
$$ S = \frac{k_B c^3 A}{4G\hbar} $$
Кроме того, Хокинг предсказал, что черные дыры испускают термическое излучение с температурой:
$$ T_H = \frac{\hbar \kappa}{2\pi k_B c} $$
Это излучение ведет к медленному испарению черной дыры — эффект Хокинга, являющийся глубоко квантовым по природе.
Квазинормальные моды и устойчивость
Возмущения черной дыры — гравитационные, электромагнитные или скалярные — не исчезают мгновенно, а затухают с течением времени. Эти затухающие колебания называются квазинормальными модами. Их частоты — комплексные, и они определяются исключительно параметрами черной дыры. Эти моды играют центральную роль в анализе гравитационных волн после слияния черных дыр (ringdown-фаза).
Гравитационные волны и слияния черных дыр
Согласно общей теории относительности, ускоряющиеся массы излучают гравитационные волны. Одним из важнейших источников этих волн являются двойные системы черных дыр, находящиеся в процессе спирального сближения. Современные детекторы (LIGO, Virgo, KAGRA) впервые зафиксировали такие волны в 2015 году, подтвердив существование черных дыр и их слияний.
Характер спектра гравитационного сигнала (chirp) позволяет определить параметры участвующих объектов — массу, спин, расстояние. Последняя стадия сигнала — кольцевая — соответствует затухающим квазинормальным модам новой, сформировавшейся черной дыры.
Информационный парадокс
Испарение черной дыры влечёт за собой потерю массы и в итоге исчезновение горизонта. Однако излучение Хокинга носит термический характер, и в нём не содержится информация о материи, упавшей в черную дыру. Это противоречит унитарности квантовой механики — информационный парадокс.
Предлагаемые разрешения включают:
Это остаётся одним из важнейших нерешённых вопросов в современной фундаментальной физике.
Черные дыры в астрофизике и космологии
Черные дыры не только являются теоретическим предсказанием, но и играют ключевую роль в наблюдаемой Вселенной:
Они обнаруживаются по релятивистским эффектам, аккреционному излучению, взаимодействию с окружающей материей и по гравитационным волнам.
Квантовая гравитация и черные дыры
В контексте квантовой теории поля и теории струн черные дыры — лаборатория для изучения гравитации на малых масштабах. Идеи голографического принципа (AdS/CFT-соответствие), микросостояний черных дыр и квантовой реконструкции пространства-времени находят реализацию именно в исследованиях черных дыр.
Таким образом, черные дыры — не только астрофизические объекты, но и фундаментальные элементы современной теоретической физики, соединяющие квантовую механику, гравитацию и термодинамику.