Математический аппарат четырехмерной электродинамики
Переход к четырехмерной формулировке электродинамики обусловлен необходимостью согласовать уравнения Максвелла с принципами специальной теории относительности. Ключевыми объектами этой формулировки являются четырехвектор потенциала, тензор электромагнитного поля и инварианты Лоренца. Такая формулировка позволяет свести уравнения Максвелла к компактной и симметричной тензорной записи, сделать их ковариантными и тем самым явным образом инвариантными относительно преобразований Лоренца.
Четырехвекторы и метрический тензор
В пространственно-временном континууме Минковского любая физическая величина, обладающая определенными трансформационными свойствами при преобразованиях Лоренца, представляется четырехвектором или тензором.
Пусть xμ = (ct, x, y, z) — координаты события, где μ = 0, 1, 2, 3, а c — скорость света. Индексы поднимаются и опускаются с помощью метрического тензора:
gμν = diag(1, −1, −1, −1), gμν = diag(1, −1, −1, −1)
Для любого четырехвектора Aμ нижний индекс определяется как Aν = gνμAμ.
Четырехпотенциал электромагнитного поля
Потенциальное представление электромагнитного поля включает векторный и скалярный потенциалы:
$$ \vec{E} = -\nabla \varphi - \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}, \quad \vec{B} = \nabla \times \vec{A} $$
Это представление объединяется в четырехвектор потенциала:
$$ A^\mu = \left(\frac{\varphi}{c}, \vec{A}\right) $$
Такой объект преобразуется как четырехвектор при преобразованиях Лоренца, что обеспечивает релятивистскую инвариантность описания поля.
Тензор электромагнитного поля
Электромагнитное поле в четырехмерной формулировке описывается антисимметричным тензором второго ранга:
Fμν = ∂μAν − ∂νAμ
Компоненты тензора Fμν выражают поля E⃗ и B⃗:
$$ F_{0i} = \frac{E_i}{c}, \quad F_{ij} = -\epsilon_{ijk} B_k $$
Матрица тензора имеет вид:
$$ F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} $$
Антисимметрия тензора Fμν = −Fνμ отражает фундаментальные свойства электромагнитного поля.
Уравнения Максвелла в тензорной форме
Уравнения Максвелла в вакууме принимают компактную форму:
∂λFμν + ∂μFνλ + ∂νFλμ = 0
Эти уравнения эквивалентны:
$$ \nabla \cdot \vec{B} = 0, \quad \nabla \times \vec{E} + \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = 0 $$
$$ \partial_\nu F^{\mu\nu} = \frac{4\pi}{c} j^\mu $$
где jμ = (cρ, j⃗) — четырехток.
В этих уравнениях проявляется явная ковариантность: все члены уравнений представляют собой тензоры одного и того же ранга.
Калибровочная инвариантность
Четырехпотенциал Aμ определяется с точностью до градиента скалярной функции:
Aμ → Aμ + ∂μΛ
Такая замена не изменяет Fμν, так как:
∂μ∂νΛ − ∂ν∂μΛ = 0
Это свойство — калибровочная инвариантность — фундаментально в современной физике, особенно в квантовой электродинамике и теории калибровочных полей.
Двойственный тензор поля
Определим двойственный тензор:
$$ \tilde{F}^{\mu\nu} = \frac{1}{2} \epsilon^{\mu\nu\alpha\beta} F_{\alpha\beta} $$
где ϵμναβ — полностью антисимметричный тензор Леви-Чивиты, ϵ0123 = +1. С его помощью однородные уравнения Максвелла можно записать как:
∂νF̃μν = 0
Таким образом, обе пары уравнений Максвелла принимают одинаковую ковариантную форму.
Лоренц-ковариантная форма закона силы Лоренца
Сила, действующая на заряженную частицу, выражается в релятивистской форме через тензор поля:
$$ \frac{dp^\mu}{d\tau} = \frac{e}{c} F^{\mu\nu} u_\nu $$
где uν — четырехскорость частицы, pμ = muμ — ее четырехимпульс, τ — собственное время. Это уравнение инвариантно относительно преобразований Лоренца и заменяет классический закон Лоренца в четырехмерной теории.
Инварианты электромагнитного поля
В теории инвариантов Лоренца особое значение имеют две величины, сохраняющиеся при преобразованиях Лоренца:
$$ I_1 = F^{\mu\nu} F_{\mu\nu} = 2 \left( \vec{B}^2 - \frac{\vec{E}^2}{c^2} \right) $$
$$ I_2 = \tilde{F}^{\mu\nu} F_{\mu\nu} = -\frac{4}{c} \vec{E} \cdot \vec{B} $$
Если оба инварианта равны нулю, поле называется чисто электромагнитным волновым; если I2 = 0, но I1 ≠ 0, поле можно свести к чисто электрическому или магнитному в некоторой системе отсчета.
Лагранжева формализация электродинамики
Четырехмерная теория допускает описание через принцип наименьшего действия. Лагранжиан для вакуумной электродинамики:
$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{16\pi} F^{\mu\nu} F_{\mu\nu} - \frac{1}{c} j^\mu A_\mu $$
Первая часть отвечает за свободное поле, вторая — за взаимодействие с токами. Вариационное уравнение по Aμ даёт уравнения Максвелла:
$$ \partial_\nu F^{\mu\nu} = \frac{4\pi}{c} j^\mu $$
Энергия-импульс электромагнитного поля
Плотность энергии и потока энергии электромагнитного поля в четырехмерной теории описывается тензором энергии-импульса:
$$ T^{\mu\nu} = \frac{1}{4\pi} \left( F^{\mu\alpha} F^\nu{}_\alpha - \frac{1}{4} g^{\mu\nu} F^{\alpha\beta} F_{\alpha\beta} \right) $$
Компоненты T00 дают плотность энергии, T0i — поток энергии (вектор Пойнтинга), Tij — поток импульса. Сохранение тока энергии и импульса выражается как:
$$ \partial_\nu T^{\mu\nu} = -\frac{1}{c} F^{\mu\nu} j_\nu $$
В отсутствие токов: ∂νTμν = 0.
Преимущества четырехмерной формулировки
Четырехмерный подход к электродинамике лежит в основе современных теоретических построений физики поля и обеспечивает строгую релятивистскую базу классической теории Максвелла.