Диаграммы Фейнмана

В квантовой теории поля основным методом вычислений служит теория возмущений, в рамках которой амплитуды переходов и другие физические величины выражаются через ряды по малому параметру – постоянной связи. Такой подход допускает графическое представление каждого члена ряда в виде диаграммы Фейнмана, что существенно упрощает как физическое понимание процессов, так и практические вычисления.

Основное преимущество фейнмановской техники – это визуальное и формализованное кодирование всех взаимодействий, топологий процессов и возможных вкладов. Каждой диаграмме однозначно соответствует аналитическое выражение, определяемое набором правил, известных как правила Фейнмана.

Элементы диаграмм и их физический смысл

Диаграммы Фейнмана строятся на плоскости, где ось времени (в рамках «временной» формулировки) направлена вверх. Они состоят из следующих элементов:

Внутренние линии — виртуальные частицы, не удовлетворяющие уравнению на массовую оболочку p² = m². Им соответствует пропагатор.
Внешние линии — физические входящие и исходящие частицы; задаются волновыми функциями.
Вершины взаимодействия — места, где линии соединяются. Каждая вершина соответствует фактору, связанному с константой связи.
Петли — замкнутые внутренние контуры. Они порождают интегралы по четырёхимпульсам виртуальных частиц и приводят к УФ и ИК расходимостям.

Пример: Квантовая электродинамика (КЭД)

Рассмотрим структуру диаграмм в КЭД, где основными полями являются электронное поле ψ(x) и электромагнитное поле A^μ(x). Лагранжиан КЭД:

$$ \mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi - \frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}, \quad D_\mu = \partial_\mu + ieA_\mu $$

Фейнмановские правила для КЭД (в импульсном представлении):

Электронная линия (прямая со стрелкой): $\displaystyle \frac{i(\slashed{p} + m)}{p^2 - m^2 + i\epsilon}$
Фотонная линия (волнистая): $\displaystyle \frac{-ig^{\mu\nu}}{q^2 + i\epsilon}$
Вершина взаимодействия: −ieγ^μ
Интегрирование по петлевому импульсу: $\displaystyle \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}$

Конструкция амплитуд: процедура построения

Чтобы построить амплитуду S-матрицы для заданного процесса:

Нарисовать все возможные диаграммы до заданного порядка по e.
Каждой линии и вершине приписать соответствующий фактор.
Соблюсти закон сохранения импульса в каждой вершине.
Выполнить интегрирование по всем независимым внутренним импульсам.
Умножить на симметричный коэффициент (если необходимо) и учесть знаки перестановок фермионов.

Типы диаграмм и физические процессы

Рассеяние: Например, процесс e⁻ + γ → e⁻ + γ (рассеяние Комптона) описывается двумя диаграммами 2-го порядка: s- и u-канальные диаграммы.

Анизотропия: В теории Янг-Миллса (например, в КХД) присутствуют нелинейные взаимодействия калибровочных бозонов, в отличие от КЭД. Это проявляется во включении вершин тройного и четверного взаимодействия глюонов.

Процессы с петлями: Петлевые диаграммы (например, поправка к пропагатору электрона или фотона) играют фундаментальную роль в анализе эффектов перенормировки, а также в вычислении аномалий.

Диаграммы с петлями и перенормировка

При рассмотрении петлевых диаграмм возникают расходимости – интегралы, которые не сходятся. Это требует введения процедуры регуляризации (например, размерностной регуляризации) и перенормировки:

Самоэнергия: поправка к пропагатору частицы.
Вершинные поправки: поправки к вершинам взаимодействия.
Полная функция связей: определяется суммой всех диаграмм с двумя внешними ногами (частицами), включая все петли.

Суть перенормировки — в замене голых параметров (массы, зарядов) на наблюдаемые, при этом соответствующие расходимости «поглощаются» в определении этих параметров. В теории, пригодной к перенормировке (например, КЭД), удаётся добиться конечных наблюдаемых величин.

Диаграммы в евклидовом пространстве и аналитическое продолжение

В задачах вычислений на решётке и при анализе поведения теории при больших энергиях часто применяют евклидову формулировку (переход от времени t к мнимому времени τ = it). Соответствующее преобразование диаграмм позволяет устранить осциллирующее поведение экспонент, упростив вычисления.

Роль симметрий и сохранение зарядов

Формализм диаграмм Фейнмана сохраняет все симметрии теории: локальные, глобальные, калибровочные. Законы сохранения (например, заряд, энергия, импульс) встроены в структуру диаграмм:

Сумма четырёхимпульсов в каждой вершине равна нулю.
Нарушение симметрии (например, хиральной) может быть отражено в структуре диаграмм, особенно в случаях аномалий.

Диаграммы и асимптотическая свобода

В нелинейных теориях, таких как квантовая хромодинамика, петельные поправки к вершинам приводят к важным результатам:

Постоянная связи становится зависящей от масштаба: α_s(Q²)
При Q² → ∞ наблюдается асимптотическая свобода, когда взаимодействие становится слабым.
Диаграммы с глюонными петлями играют ключевую роль в определении β-функции и бегущей константы связи.

Диаграммы в теории взаимодействующих бозонных полей

В теории ϕ⁴ (четырёхкратное скалярное взаимодействие) диаграммы имеют исключительно вершины с четырьмя ножками. Они служат простейшей моделью анализа перенормировки и критического поведения:

Линия: $\displaystyle \frac{i}{p^2 - m^2 + i\epsilon}$
Вершина: −iλ
Все диаграммы симметричны при перестановке ног.

Такие теории лежат в основе анализа фазовых переходов, теории критических явлений и ренормализационной группы.

Вычисление сечений и вероятностей

Диаграммы Фейнмана не только обеспечивают вычисление амплитуд, но и позволяют перейти к наблюдаемым величинам – дифференциальным и полным сечениям, вероятностям распада и т.д. Ключевое выражение – правило:

$$ \text{Сечение} \sim \frac{1}{\text{поток}} \cdot \left| \mathcal{M} \right|^2 \cdot \text{фазовый объем} $$

где ℳ — амплитуда, соответствующая сумме всех диаграмм заданного порядка. Этапы включают:

Вычисление ℳ по диаграммам Фейнмана.
Квадрат модуля амплитуды.
Усреднение и суммирование по спинам, поляризациям.
Интегрирование по фазовому пространству с учётом кинематических ограничений.

Диаграммы в нековариантных и температурных формализмах

В теории конечных температур или в формализме Брауна-Йорка применяются диаграммы Матцубары: они строятся в евклидовом пространстве со специфической структурой частотных сумм, соответствующих периодическим граничным условиям.

Кроме того, для задач, связанных с временной эволюцией (например, в космологии), применяются реальные временные диаграммы (формализм Швингера–Келлдиша).

Современное развитие: амплитудная программа и теории без диаграмм

Современные методы теории рассеяния в квантовых теориях поля часто идут в обход фейнмановского формализма. Примеры:

Рекуррентные соотношения Беренд–Виттен.
Амплитуды с использованием спинора-геликитета.
Диаграммы Парка–Тейлора, треугольники Британского института (BCFW-формализм).
Геометрические представления в форме амплитухедрона.

Тем не менее, диаграммы Фейнмана остаются краеугольным камнем вычислительных методов в КТП, а также незаменимым инструментом при обучении, интерпретации и проверке результатов.