Дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП) — это уравнения, содержащие производные функции нескольких переменных по этим переменным. В теоретической физике такие уравнения естественным образом возникают при описании динамики полей, распространения волн, теплопроводности, квантовой механики, гравитации и других фундаментальных процессов.
Основная классификация основана на порядках производных и типе линейности:
По порядку: первое, второе, третье и т. д.
По линейности:
По числу независимых переменных: двухмерные, трёхмерные и т. д.
Особая классификация вторых линейных уравнений с двумя переменными основана на характеристическом уравнении:
$$ A \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2B \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + C \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \text{нижние производные} = 0 $$
Дискриминант D = B2 − AC определяет тип уравнения:
Каждый тип уравнений обладает своей физической интерпретацией и требует особого подхода к решению.
Уравнение распространения малых возмущений в упругих средах:
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u $$
где c — скорость распространения возмущения. Это гиперболическое уравнение второго порядка. Оно описывает акустические, электромагнитные, гравитационные волны.
Для одномерного случая:
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$
Общее решение имеет вид:
u(x, t) = f(x − ct) + g(x + ct)
что соответствует двум бегущим волнам.
$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \nabla^2 u $$
где κ — коэффициент теплопроводности. Это параболическое уравнение, описывающее диффузионные процессы. Решения сглаживаются со временем, что отражает физическое свойство выравнивания температур.
В одномерном случае:
$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$
Типовое решение для задачи Коши с начальными условиями приводит к функции Гаусса (фундаментальное решение).
Эллиптические уравнения, описывающие стационарные поля:
∇2u = 0
∇2u = f(x)
Решения описывают потенциальные поля (электростатические, гравитационные), равновесные состояния в механике и гидродинамике.
Один из наиболее эффективных аналитических методов, применимый при наличии однородных граничных условий и линейности уравнения.
Пример: одномерное волновое уравнение:
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$
Предполагаем решение в виде:
u(x, t) = X(x)T(t)
Подстановка в уравнение и деление на XT приводит к разложению на два ОДУ:
$$ \frac{T''}{T} = c^2 \frac{X''}{X} = -\lambda $$
Получаем спектральную задачу, решаемую с помощью граничных условий. Результат — разложение по собственным функциям (синусы, косинусы, функции Бесселя и др.)
Применим для первого порядка и некоторых гиперболических уравнений второго порядка. Переводит ДУЧП в систему ОДУ вдоль характеристических кривых, вдоль которых уравнение упрощается.
Пример: уравнение переноса:
$$ \frac{\partial u}{\partial t} + c \frac{\partial u}{\partial x} = 0 $$
Решение сохраняется вдоль прямых x − ct = const. Общее решение:
u(x, t) = f(x − ct)
Мощные инструменты для перехода от ДУЧП к алгебраическим уравнениям или ОДУ в преобразованной области. Особенно эффективны при решении задач на бесконечных или полуограниченных областях.
Преобразование Фурье по пространственной переменной:
û(k, t) = ∫−∞∞u(x, t)e−ikxdx
превращает уравнение теплопроводности в:
$$ \frac{d\hat{u}}{dt} = -\kappa k^2 \hat{u} $$
что решается как ОДУ.
Основан на представлении решения через фундаментальное решение — функцию Грина. Метод широко используется в электродинамике, теории поля и других областях.
Для уравнения Пуассона:
∇2u = −ρ
решение выражается как:
u(x) = ∫G(x, x′)ρ(x′)dx′
где G(x, x′) — функция Грина, удовлетворяющая:
∇2G(x, x′) = −δ(x − x′)
Задачи на собственные значения возникают при разделении переменных. Типичная формулировка:
$$ -\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dX}{dx}\right] + q(x)X = \lambda w(x)X, \quad X(a) = X(b) = 0 $$
Такие задачи имеют ортогональные собственные функции Xn(x), образующие базис в соответствующем функциональном пространстве. Расширение начальных условий по этим функциям позволяет строить решения ДУЧП в виде рядов Фурье по собственным функциям.
□ϕ + m2ϕ = 0
где □ = ∂μ∂μ — оператор Д’Аламбера. Описывает скалярное квантовое поле.
(iγμ∂μ − m)ψ = 0
первого порядка, но с матричной структурой. Это система линейных ДУЧП.
$$ \nabla \cdot \vec{E} = 0,\quad \nabla \cdot \vec{B} = 0,\quad \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t},\quad \nabla \times \vec{B} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} $$
приводят к волновым уравнениям для электрического и магнитного полей.
$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu} R = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$
представляет собой сильно нелинейную систему ДУЧП второго порядка относительно метрического тензора gμν.
Для сложных задач аналитическое решение невозможно. Используются численные методы:
Применение требует дискретизации области, выбора аппроксимации производных, анализа устойчивости, сходимости и точности.
Важным понятием является условие Куранта–Фридрихса–Леви (CFL), обеспечивающее устойчивость численного решения гиперболических уравнений.
Полная постановка задачи для ДУЧП требует задания:
Начальных условий (время)
Граничных условий (пространство):
Выбор условий существенно влияет на физический смысл и поведение решений. Эллиптические задачи требуют граничных условий на всей области, гиперболические — начальных и частично граничных, параболические — начальных и односторонних граничных.
ДУЧП, возникающие в теоретической физике, часто обладают определёнными симметриями:
Использование симметрий позволяет:
Анализ симметрий лежит в основе групповых методов Ли, широко применяемых для построения аналитических решений.