Уравнения Максвелла в вакууме и волновое приближение
Пусть в пространстве отсутствуют свободные заряды и токи:
ρ = 0, j = 0.
Тогда уравнения Максвелла в дифференциальной форме в вакууме принимают вид:
$$ \begin{aligned} &\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \\ &\nabla \cdot \mathbf{B} = 0, \\ &\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \\ &\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}, \end{aligned} $$
где E — вектор напряжённости электрического поля, B — вектор магнитной индукции, ε0 — диэлектрическая проницаемость вакуума, μ0 — магнитная проницаемость вакуума.
Применяя оператор ротора ко второму уравнению Максвелла, получаем:
$$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathbf{B}) = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}. $$
С учётом векторного тождества:
∇ × (∇ × E) = ∇(∇ ⋅ E) − ∇2E,
и с учётом ∇ ⋅ E = 0, получаем:
$$ \nabla^2 \mathbf{E} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0. $$
Аналогично:
$$ \nabla^2 \mathbf{B} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} = 0. $$
Это волновые уравнения для электрического и магнитного полей. Форма этих уравнений соответствует классическому волновому уравнению, где скорость распространения волны:
$$ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}. $$
Таким образом, электромагнитные поля в вакууме распространяются со скоростью света.
Плоская монохроматическая волна
Рассмотрим решение волнового уравнения в виде плоской волны, распространяющейся вдоль направления k:
E(r, t) = E0cos (k ⋅ r − ωt), B(r, t) = B0cos (k ⋅ r − ωt),
где ω = c|k|, а векторы E0 и B0 — постоянные амплитуды электрического и магнитного полей.
Из уравнений Максвелла вытекают следующие свойства:
$$ \mathbf{k} \cdot \mathbf{E} = 0, \quad \mathbf{k} \cdot \mathbf{B} = 0, \quad \mathbf{B} = \frac{1}{\omega} \mathbf{k} \times \mathbf{E}. $$
$$ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B}, $$
совпадает с направлением распространения волны.
Энергия и поток энергии электромагнитной волны
Энергия, содержащаяся в электромагнитном поле, определяется плотностью:
$$ u = \frac{\varepsilon_0}{2} |\mathbf{E}|^2 + \frac{1}{2\mu_0} |\mathbf{B}|^2. $$
Для плоской волны в вакууме выполняется равенство:
$$ |\mathbf{B}| = \frac{|\mathbf{E}|}{c}, \quad u = \varepsilon_0 |\mathbf{E}|^2. $$
Плотность потока энергии (вектор Пойтинга):
$$ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B}. $$
Мгновенное значение этого вектора меняется во времени. Обычно рассматривают среднее значение по времени:
$$ \langle \mathbf{S} \rangle = \frac{1}{2\mu_0} \Re[\mathbf{E}_0 \times \mathbf{B}_0^*], $$
где звёздочка означает комплексное сопряжение. В случае линейно поляризованной волны:
$$ \langle \mathbf{S} \rangle = \frac{c \varepsilon_0}{2} |\mathbf{E}_0|^2 \hat{\mathbf{k}}. $$
Поляризация волны
Поляризация определяет направление вектора E во времени:
Для круговой поляризации:
$$ \mathbf{E} = E_0 \left( \hat{\mathbf{x}} \cos(kz - \omega t) + \hat{\mathbf{y}} \sin(kz - \omega t) \right) $$
(левая или правая в зависимости от фазы между компонентами).
Комплексное представление электромагнитных волн
Для удобства вычислений используют комплексную форму записи:
E(r, t) = ℜ[E0ei(k ⋅ r − ωt)].
Уравнения Максвелла в такой форме упрощаются, и, например, из условия ∇ ⋅ E = 0 следует:
k ⋅ E0 = 0,
что эквивалентно поперечности волны.
Сферические и цилиндрические волны
Кроме плоских решений возможны и другие типы:
$$ \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mathbf{f}(\theta, \varphi)}{r} \cos(kr - \omega t), $$
описывает волны, расходящиеся из точечного источника.
$$ \mathbf{E}(r, t) = \frac{1}{\sqrt{r}} \cos(kr - \omega t). $$
Эти формы решений удовлетворяют волновому уравнению в соответствующих координатных системах.
Дисперсионные соотношения и фазовая скорость
Для плоской волны:
$$ \omega = c |\mathbf{k}|, \quad v_\text{ф} = \frac{\omega}{k} = c, \quad v_\text{гр} = \frac{d\omega}{dk} = c. $$
Таким образом, в вакууме фазовая и групповая скорости совпадают.
Интерференция и дифракция
Интерференция возникает при наложении двух или более когерентных волн. Простейший случай — интерференция двух одинаковых плоских волн:
E1 = E0cos (k1 ⋅ r − ωt), E2 = E0cos (k2 ⋅ r − ωt).
Результирующее поле:
$$ \mathbf{E} = 2\mathbf{E}_0 \cos\left(\frac{\Delta \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}{2}\right) \cos\left(\mathbf{k}_\text{ср} \cdot \mathbf{r} - \omega t\right), $$
где Δk = k1 − k2, а kср = (k1 + k2)/2.
Эта формула отражает формирование интерференционных полос.
Дифракция — отклонение волны от прямолинейного распространения при прохождении через малые отверстия или вокруг препятствий. Описывается, например, интегралом Френеля или Кирхгофа в соответствующих приближениях.
Электромагнитные волны и релятивистская инвариантность
Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца. Это означает, что электромагнитные волны корректно трансформируются между инерциальными системами отсчёта.
С введением тензора электромагнитного поля Fμν, волновое уравнение может быть записано в ковариантной форме:
∂μ∂μAν = 0,
в калибровке Лоренца: ∂μAμ = 0, где Aμ — 4-потенциал.
Спектральный состав электромагнитных волн
Обобщённое решение волнового уравнения можно представить в виде суперпозиции (интеграла Фурье) плоских волн различной частоты и направления:
E(r, t) = ∫E(k)ei(k ⋅ r − ωt)d3k.
Это ключевой подход в анализе ограниченных по пространству и времени импульсов (волновых пакетов).
Импульс электромагнитного поля
Помимо энергии, волна переносит импульс:
$$ \mathbf{g} = \varepsilon_0 \mathbf{E} \times \mathbf{B} = \frac{1}{c^2} \mathbf{S}, $$
где g — плотность импульса. Это приводит к давлению света:
$$ P = \frac{\langle S \rangle}{c}, $$
что подтверждается экспериментами (давление света на зеркало, радиометр Крукса и др.).
Квантование электромагнитной волны
В классическом описании волна непрерывна, но в квантовой теории электромагнитное излучение квантуется. Энергия монохроматической волны может быть представлена как поток фотонов с энергией:
E = ℏω,
где ℏ — приведённая постоянная Планка. Это важно для описания явлений фотоэффекта, комптоновского рассеяния и др.
Электромагнитная волна как решение уравнений Максвелла в вакууме — центральный результат классической электродинамики, иллюстрирующий взаимодействие между электрическим и магнитным полями и их распространение в пространстве со скоростью света.