Электрон-фононное взаимодействие — фундаментальное явление в физике твёрдого тела, определяющее широкий спектр физических свойств кристаллов, включая электрическую проводимость, сверхпроводимость, теплопроводность и многие оптические эффекты. Оно описывает взаимодействие между коллективными колебаниями ионов кристаллической решётки (фононами) и электронными возбуждениями. Для строгого теоретического описания требуется квантовомеханический подход в рамках второго квантования.
Полный гамильтониан кристаллической системы, учитывающий электрон-фононное взаимодействие, можно записать в виде:
Ĥ = Ĥэл + Ĥф + Ĥэл-ф
где:
Электронный гамильтониан в приближении одноэлектронного потенциала:
Ĥэл = ∑k, sεkcks†cks
где cks†, cks — операторы рождения и уничтожения электрона с волновым вектором k и спином s, εk — спектр электронов.
Фононный гамильтониан записывается как:
$$ \hat{H}_{\text{ф}} = \sum_{\mathbf{q}, \lambda} \hbar \omega_{\mathbf{q}\lambda} \left( b_{\mathbf{q}\lambda}^\dagger b_{\mathbf{q}\lambda} + \frac{1}{2} \right) $$
где bqλ†, bqλ — операторы рождения и уничтожения фононов с волновым вектором q и поляризацией λ, ωqλ — дисперсионное соотношение фононов.
Интеракционный гамильтониан между электронами и фононами в наиболее общем виде:
Ĥэл-ф = ∑k, q, s, λgλ(k, q) ck + q, s†ck, s(bqλ + b−qλ†)
где gλ(k, q) — амплитуда взаимодействия (константа связи), зависящая от состояния электрона и фонона. Эта величина содержит информацию о структуре решётки и характере колебаний.
Фононы являются квазичастицами, представляющими коллективные колебания атомов. Электроны, движущиеся по кристаллу, взаимодействуют с ионной подсистемой. Когда электрон вызывает смещение ионов (создание фонона), это изменение может повлиять на других электронов: это и есть механизм эффективного взаимодействия между электронами посредством фононов.
Такой механизм особенно важен в теории сверхпроводимости (модель Куперовских пар), а также в объяснении конечного сопротивления металлов при низких температурах.
При рассмотрении электронного транспорта важным является процесс рассеяния электронов на фононах. Основные возможные процессы:
Для расчёта вероятностей рассеяния используется золотое правило Ферми:
$$ W_{\mathbf{k} \rightarrow \mathbf{k}'} = \frac{2\pi}{\hbar} | \langle f | \hat{H}_{\text{эл-ф}} | i \rangle |^2 \delta(E_f - E_i) $$
где |i⟩, |f⟩ — начальное и конечное состояния, включающие электрон и фонон.
Электрон-фононное взаимодействие определяет температурную зависимость электрического сопротивления металлов. При низких температурах основной вклад в рассеяние вносит рассеяние на акустических фононах, при этом:
ρ(T) ∝ T5 (закон Блоха-Грюнезайзена)
При более высоких температурах (T ≫ ΘD, где ΘD — температура Дебая) сопротивление линейно зависит от температуры:
ρ(T) ∝ T
Это объясняется увеличением числа термически возбуждённых фононов.
В рамках теории БКШ (Бардина–Купера–Шриффера) электрон-фононное взаимодействие играет ключевую роль в образовании Куперовских пар — связанных состояний двух электронов с противоположными импульсами и спинами. Несмотря на то, что прямое кулоновское отталкивание между электронами велико, эффективное притяжение, индуцированное обменом фононами, приводит к возникновению связанного состояния.
Энергетическая щель Δ, возникающая при этом, характеризует устойчивость сверхпроводящего состояния и определяется параметрами электрон-фононного взаимодействия.
Для описания влияния фононной среды на электронное состояние применяется аппарат теории возмущений. Электрон, взаимодействующий с фононами, получает поправки к энергии — самоэнергию Σ(k, ω), зависящую от частоты и волнового вектора.
Массовый оператор модифицирует электронный пропагатор:
$$ G(\mathbf{k}, \omega) = \frac{1}{\hbar\omega - \varepsilon_{\mathbf{k}} - \Sigma(\mathbf{k}, \omega)} $$
Реальная часть Σ отвечает за сдвиг энергии, мнимая — за конечное время жизни возбуждения.
Когда электрон сильно взаимодействует с фононами, может образовываться квазичастица — полярон. Электрон, “одетый” в облако фононов, приобретает эффективную массу:
m* = m(1 + λ)
где λ — безразмерная константа связи. При сильной связи возникают самозахваченные состояния — малые поляроны.
В кристаллах с центросимметричной решёткой основной вклад вносит деформационное взаимодействие, описываемое через градиент потенциальной энергии при смещении ионов.
В неполярных кристаллах с отсутствием центра симметрии возникает также пьезоэлектрическое взаимодействие, связанное с полем, индуцированным механическими деформациями.
Выбор возможных процессов взаимодействия определяется симметрией волновых функций и законами сохранения импульса и энергии. Особенно важно учитывать:
Это накладывает ограничения на доступные каналы рассеяния и определяет особенности спектральных линий в оптических и электронных спектроскопиях.
Электрон-фононное взаимодействие приводит к характерным структурам в оптической проводимости и плотности состояний. В инфракрасной спектроскопии и Рамановском рассеянии наблюдаются фононные полосы, модулированные электронными переходами.
В туннельной спектроскопии (например, в эффекте Джозефсона) электрон-фононная связь проявляется в виде особенностей в характеристиках тока при приложении напряжения, соответствующего фононной энергии.
Полное описание электрон-фононного взаимодействия в рамках теории сильно связанных систем включает спектральную функцию Эллиашберга:
$$ \alpha^2F(\omega) = \frac{1}{N(0)} \sum_{\mathbf{k}, \mathbf{q}, \lambda} |g_{\lambda}(\mathbf{k}, \mathbf{q})|^2 \delta(\omega - \omega_{\mathbf{q}\lambda}) \delta(\varepsilon_{\mathbf{k}}) \delta(\varepsilon_{\mathbf{k+q}}) $$
Эта функция играет центральную роль в расчётах температуры перехода в сверхпроводящее состояние, определении эффективной массы, ширины уровней и других характеристик.
Электрон-фононное взаимодействие — один из краеугольных камней современной физики конденсированных сред, необходимый для понимания как фундаментальных, так и прикладных явлений.