Основные уравнения электростатики и магнитостатики
Электростатическое поле — это векторное поле, создаваемое неподвижными электрическими зарядами. Его фундаментальной характеристикой является вектор напряжённости электрического поля E, который в каждой точке пространства определяет силу, действующую на пробный положительный заряд.
В основе описания электростатического взаимодействия лежит закон Кулона: для двух точечных зарядов q1 и q2, находящихся на расстоянии r, сила их взаимодействия равна
$$ \mathbf{F} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r^2} \cdot \hat{\mathbf{r}}, $$
где $\hat{\mathbf{r}}$ — единичный вектор, направленный от одного заряда к другому, ε0 — диэлектрическая постоянная вакуума.
Соответственно, напряжённость поля от точечного заряда:
$$ \mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2} \cdot \hat{\mathbf{r}}. $$
Для системы нескольких зарядов поле в каждой точке пространства определяется векторной суммой полей от всех зарядов:
$$ \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \sum_i \mathbf{E}_i(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_i \frac{q_i (\mathbf{r} - \mathbf{r}_i)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_i|^3}. $$
В случае непрерывного распределения зарядов с объёмной плотностью ρ(r′), интегральная форма напряжённости:
$$ \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}') (\mathbf{r} - \mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \, d^3\mathbf{r}'. $$
Одна из ключевых теорем электростатики — теорема Гаусса:
$$ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{Q_{\text{внутр}}}{\varepsilon_0}, $$
где интеграл берётся по замкнутой поверхности S, а Qвнутр — суммарный заряд внутри этой поверхности.
Дифференциальная форма:
$$ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}. $$
Это одно из уравнений Максвелла для электростатики.
Электростатическое поле является потенциальным, то есть:
∇ × E = 0.
Следовательно, существует скалярная функция φ(r) — электрический потенциал, такая что
E = −∇φ.
Из уравнения Гаусса и определения потенциала следует уравнение Пуассона:
$$ \nabla^2 \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}, $$
а при ρ = 0 — уравнение Лапласа:
∇2φ = 0.
На границах раздела сред действуют следующие условия:
нормальная компонента En испытывает скачок, если на границе есть поверхностный заряд:
ε0(E2n − E1n) = σ,
где σ — поверхностная плотность заряда;
тангенциальная компонента Eτ непрерывна:
E1τ = E2τ.
Энергия электростатического поля
Энергия взаимодействия системы зарядов:
$$ U = \frac{1}{2} \sum_i q_i \varphi(\mathbf{r}_i). $$
Для непрерывного распределения:
$$ U = \frac{1}{2} \int \rho(\mathbf{r}) \varphi(\mathbf{r}) \, d^3\mathbf{r} = \frac{\varepsilon_0}{2} \int |\mathbf{E}|^2 \, d^3\mathbf{r}. $$
Плотность энергии поля:
$$ u = \frac{\varepsilon_0}{2} |\mathbf{E}|^2. $$
Методы решения электростатических задач
Наиболее эффективные методы:
Особенно важен метод изображений для нахождения поля в присутствии проводников, где задача заменяется эквивалентной, но с фиктивными зарядами, удовлетворяющими граничным условиям.
Магнитостатическое поле и закон Био — Савара
Магнитостатическое поле создаётся стационарными токами. Основная характеристика поля — вектор магнитной индукции B. Согласно закону Био — Савара, поле от элементарного тока:
$$ d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{I \, d\mathbf{l} \times \hat{\mathbf{r}}}{r^2}. $$
Интегральная форма:
$$ \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{j}(\mathbf{r}') \times (\mathbf{r} - \mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \, d^3\mathbf{r}'. $$
Интегральная форма:
∮CB ⋅ dl = μ0Iвнутр,
где интеграл берётся по замкнутому контуру C, охватывающему ток.
Дифференциальная форма:
∇ × B = μ0j.
Дополнительно:
∇ ⋅ B = 0,
что означает отсутствие магнитных зарядов (магнитных монополей).
Векторный потенциал
Поскольку ∇ ⋅ B = 0, существует векторный потенциал A, такой что:
B = ∇ × A.
Из уравнения Ампера следует уравнение для A при выборе кулоновской калибровки ∇ ⋅ A = 0:
∇2A = −μ0j.
Аналог уравнения Пуассона.
Силы в магнитном поле. Сила Лоренца
На заряд q, движущийся со скоростью v в магнитном поле, действует сила Лоренца:
F = qv × B.
На токовый элемент:
dF = I dl × B.
На объём с плотностью тока j:
f = j × B.
Энергия магнитного поля
Плотность энергии магнитного поля:
$$ u = \frac{1}{2\mu_0} |\mathbf{B}|^2. $$
Полная энергия:
$$ U = \frac{1}{2\mu_0} \int |\mathbf{B}|^2 \, d^3\mathbf{r}. $$
Граничные условия для магнитного поля
нормальная компонента Bn непрерывна:
B1n = B2n,
тангенциальная компонента Bτ испытывает скачок, если на границе есть поверхностный ток:
$$ \mathbf{B}_{2\tau} - \mathbf{B}_{1\tau} = \mu_0 \mathbf{K} \times \hat{\mathbf{n}}, $$
где K — поверхностная плотность тока.
Магнитные диполи и моменты
Для контура с током I и площадью S, магнитный момент:
m = IS.
Магнитное поле диполя:
$$ \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{3(\mathbf{m} \cdot \hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}} - \mathbf{m}}{r^3} \right). $$
Полевое представление электростатики и магнитостатики в уравнениях Максвелла
В статике система уравнений Максвелла принимает следующий вид:
Электростатика:
$$ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \quad \nabla \times \mathbf{E} = 0. $$
Магнитостатика:
∇ ⋅ B = 0, ∇ × B = μ0j.
Эти уравнения определяют структуру полей от заданных источников и являются основой для построения строгих решений в рамках электромагнитной теории в статическом приближении.