Фазовые переходы и критические явления

Классификация фазовых переходов

Фазовые переходы подразделяются на несколько типов в зависимости от характера изменений термодинамических параметров. Наиболее принятая классификация восходит к Эренфесту и базируется на порядке разрыва производных термодинамического потенциала.

Переходы первого рода характеризуются скачкообразным изменением энтропии и объёма, что сопровождается выделением или поглощением скрытой теплоты. Типичный пример — плавление льда или испарение воды. В этих переходах сосуществуют фазы, и наблюдается гистерезис.
Переходы второго рода (или непрерывные) происходят без скачков энтропии и объёма, однако в них наблюдаются разрывы производных второго порядка (например, теплоёмкости, магнитной восприимчивости). Они характеризуются критическим поведением и возникновением длинноволновых корреляций. Примером может служить переход ферромагнетик–парамагнетик при температуре Кюри.

Порядок параметра и симметрия

Одним из ключевых понятий при описании фазовых переходов второго рода является параметр порядка — величина, характеризующая степень нарушения симметрии. Он равен нулю в симметричной (высокотемпературной) фазе и отличен от нуля в низкотемпературной фазе. Например, в ферромагнетике параметром порядка служит намагниченность.

Фазовый переход сопровождается спонтанным нарушением симметрии: при температуре выше критической система инвариантна относительно определённых симметрических преобразований, а ниже этой температуры — нет. Эта смена симметрии играет важную роль в классификации универсальных классов критического поведения.

Критические явления и критическая точка

В окрестности критической точки система проявляет особые свойства:

Дивергенция корреляционной длины: Длина корреляции ξ, описывающая масштаб пространственной корреляции флуктуаций, стремится к бесконечности при приближении к критической температуре T_c:

ξ ∼ |T − T_c|^−ν

где ν — критический индекс.
Дивергенция термодинамических величин: Теплоёмкость, магнитная восприимчивость, сжимаемость и другие величины демонстрируют степенные зависимости с разными критическими индексами:

C ∼ |T − T_c|^−α, χ ∼ |T − T_c|^−γ, M ∼ (T_c − T)^β при T < T_c
Скалярная и тензорная структура флуктуаций: Флуктуации становятся масштабно-инвариантными, а наблюдаемые величины — самоподобными. Это означает, что система становится критически самоподобной.

Критические индексы и универсальность

Критическое поведение описывается набором критических индексов: α, β, γ, δ, ν, η. Несмотря на различие в микроскопической структуре систем, множество различных систем демонстрируют одинаковые значения этих индексов, образуя универсальные классы.

Это универсальность объясняется тем, что вблизи критической точки поведение системы определяется не конкретными микроскопическими деталями, а симметрией, размерностью пространства и числом компонент параметра порядка.

Существует ряд гипотез, связывающих критические индексы:

Гипотеза гиперскейлинга:

2 − α = dν

где d — пространственная размерность.
Соотношение Уидома:

γ = β(δ − 1)
Соотношение Фишера:

γ = ν(2 − η)

Феноменологическая теория Ландау

Теория Ландау представляет собой макроскопический подход к описанию фазовых переходов второго рода. Она вводит свободную энергию в виде функционала от параметра порядка ϕ, записанную в виде разложения по степеням параметра:

F(ϕ) = F₀ + a(T)ϕ² + bϕ⁴ + …

где a(T) = a₀(T − T_c), а b > 0. При T > T_c минимум находится при ϕ = 0, при T < T_c — при ϕ ≠ 0.

Хотя теория Ландау игнорирует флуктуации, она успешно описывает симметрию фаз и типы возможных переходов. Она предсказывает критические индексы, но только в приближении среднего поля, не учитывая масштабные корреляции, возникающие при ξ → ∞.

Флуктуации и теория Ренормгруппы

Реальные критические явления сопровождаются сильными флуктуациями, которые теория Ландау не учитывает. Для их описания применяется ренормгрупповой подход, разработанный К. Вильсоном и другими.

Суть метода заключается в последовательном “усреднении” по коротковолновым флуктуациям и переходе к новому масштабу. На каждом шаге коэффициенты в гамильтониане “текут”, что описывается уравнениями ренормгруппы:

$$ \frac{d g_i}{d \ln l} = \beta_i(g) $$

где g_i — параметры теории, а l — масштаб длин. Фиксированные точки этих уравнений соответствуют возможным критическим режимам.

Ренормгруппа объясняет универсальность: разные микроскопические теории “текут” к одной и той же фиксированной точке. Это позволяет точно вычислять критические индексы в рамках ε-разложения:

ϵ = 4 − d

При малых ϵ (то есть при d ≈ 4) можно получить точные поправки к результатам теории среднего поля.

Модель Изинга и примеры моделей

Модель Изинга — один из краеугольных камней теории фазовых переходов. В ней спины s_i = ±1 расположены на узлах решётки и взаимодействуют с ближайшими соседями:

H = −J∑_⟨ij⟩s_is_j − h∑_is_i

При d = 2 модель Изинга решается аналитически (О. Кауфман и Л. О́нсагер), и известны точные значения критических индексов. При d = 3 она исследуется численно и с помощью ренормгруппы.

Модель Хейзенберга, модель XY, модель Поттса и другие также используются для описания различных типов симметрии параметра порядка и соответствующих классов универсальности.

Перестройка фазы и топологические переходы

Не все фазовые переходы сопровождаются нарушением симметрии. В частности, топологические фазовые переходы (например, переход Березинского–Костерлица–Таулесса в двумерной XY-модели) характеризуются изменением топологического порядка и возникают в результате образования или аннигиляции вихревых возбуждений. Эти переходы не укладываются в схему Ландау, но хорошо описываются в терминах ренормгруппы и топологических дефектов.

Квантовые фазовые переходы

Если фазовый переход происходит при нулевой температуре, под действием внешнего параметра (например, давления, магнитного поля), то его называют квантовым. Он обусловлен квантовыми флуктуациями и описывается квантовой теорией поля с переходом в пространственно-временную размерность d + z, где z — динамический критический индекс.

Такие переходы играют важную роль в квантовой теории поля, теории сверхпроводимости, физике сильносвязанных электронных систем, квантовой хромодинамике и др.

Фазовые диаграммы и мультикритические точки

Фазовые диаграммы отображают множество фаз и линий (или поверхностей) переходов. В ряде случаев возможно существование мультикритических точек, в которых пересекаются несколько линий переходов. Эти точки имеют особенно сложное критическое поведение и требуют расширенного описания с дополнительными параметрами порядка.

Современные методы и численные подходы

Современные исследования критических явлений опираются на:

Методы Монте-Карло, особенно с алгоритмами Вольфа, Свенгсена–Вангла и т. п.
Формализм функциональной ренормгруппы, позволяющий не ограничиваться малым ϵ.
Конформную теорию поля, особенно в двумерных системах, где можно классифицировать все возможные критические теории.
Голографические методы в квантовой гравитации, связывающие фазовые переходы с гравитационными аналогами (AdS/CFT).

Фазовые переходы и критические явления составляют фундаментальную область теоретической физики, объединяя статистическую механику, квантовую теорию поля, симметрию и геометрию, и продолжают оставаться активной областью современных исследований.