Функциональный анализ и гильбертовы пространства

Основные понятия функционального анализа в физике

Функциональный анализ представляет собой раздел математики, изучающий бесконечномерные векторные пространства и линейные операторы в них. В контексте теоретической физики он предоставляет строгую математическую основу для квантовой механики, теории поля, статистической физики и других областей. Ключевую роль играет теория гильбертовых пространств, которая обеспечивает язык и инструменты для описания квантовых состояний, операторов наблюдаемых и эволюции физических систем.

Гильбертово пространство — это полное нормированное пространство с внутренним произведением, определённым для всех пар векторов. Обозначается обычно как ℋ. В физике чаще всего рассматриваются сепарабельные гильбертовы пространства, то есть пространства, имеющие счётно-ортонормированный базис.

Внутреннее произведение и нормы

Пусть ψ, ϕ ∈ ℋ, тогда внутреннее произведение ⟨ψ|ϕ⟩ удовлетворяет:

  1. Линейность по второму аргументу: ⟨ψ|aϕ1 + bϕ2⟩ = a⟨ψ|ϕ1⟩ + b⟨ψ|ϕ2⟩

  2. Сопряжённая симметрия: $\langle \phi | \psi \rangle = \overline{ \langle \psi | \phi \rangle }$

  3. Положительная определённость: ⟨ψ|ψ⟩ ≥ 0, и ⟨ψ|ψ⟩ = 0 ⇒ ψ = 0

На основе внутреннего произведения определяется норма:

$$ \| \psi \| = \sqrt{ \langle \psi | \psi \rangle } $$

Ортонормированные базисы и разложения

Всякий вектор ψ ∈ ℋ может быть представлен как разложение по ортонормированному базису {en}:

$$ \psi = \sum_{n=1}^\infty c_n e_n, \quad \text{где } c_n = \langle e_n | \psi \rangle $$

Условие полноты:

$$ \sum_{n=1}^\infty |c_n|^2 < \infty $$

Это обеспечивает сходимость ряда в смысле нормы Гильберта. Полнота базиса также означает, что любая функция, ортогональная всем en, тождественно равна нулю.

Линейные операторы в гильбертовом пространстве

Линейный оператор A : ℋ → ℋ — это отображение, удовлетворяющее:

A(aψ + bϕ) = aAψ + bAϕ

Физические наблюдаемые в квантовой механике моделируются самосопряжёнными (эрмитовыми) операторами.

Основные классы операторов:

  • Ограниченные операторы: Существует число C, такое что ∥Aψ∥ ≤ C∥ψ∥ для всех ψ ∈ ℋ.

  • Неограниченные операторы: Операторы, не удовлетворяющие вышеуказанному условию, но часто встречающиеся в квантовой механике (например, оператор импульса $\hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx}$).

  • Самосопряжённые операторы: ⟨Aψ|ϕ⟩ = ⟨ψ|Aϕ⟩. Обладают вещественным спектром, что делает их пригодными для описания измеряемых величин.

  • Компактные операторы: Отображают ограниченные множества в относительно компактные. Важны в теории интегральных уравнений.

Собственные значения и спектральная теория

Если Aψ = λψ, то λ — собственное значение оператора A, а ψ — соответствующий собственный вектор. В гильбертовом пространстве спектр оператора может быть:

  • Дискретным — конечные/счётные собственные значения;
  • Непрерывным — отсутствует собственное значение, но оператор не является обратимым;
  • Смешанным — включает и дискретную, и непрерывную части.

Спектральная теорема утверждает, что любой самосопряжённый оператор A допускает разложение:

A = ∫σ(A)λ dE(λ)

где E(λ) — проекторная спектральная мера. Это обобщение диагонализации матрицы на бесконечномерные случаи.

Дираковское исчисление и гильбертовы пространства

В квантовой механике широко используется обозначение Дирака:

  • |ψ⟩ — вектор состояния (кет);
  • ⟨ϕ| — сопряжённый линейный функционал (бра);
  • ⟨ϕ|ψ⟩ — скалярное произведение;
  • |ψ⟩⟨ϕ| — оператор на ℋ.

Важно понимать, что такие записи — формальные обозначения, которые требуют строгой интерпретации через теорию распределений и ригged-гильбертовы пространства (Gelfand triple), особенно когда речь идёт о непрерывных спектрах (например, собственные состояния импульса или координаты).

Риггед-гильбертовы пространства

Чтобы строго работать с обобщёнными собственными функциями (например, δ(x − x0)), вводится расширенная структура:

Φ ⊂ ℋ ⊂ Φ′

  • Φ — пространство тестовых функций (например, ????(ℝ));
  • Φ′ — пространство обобщённых функций (распределений).

В этой схеме возможна корректная трактовка спектральных разложений, включающих непрерывный спектр, как, например:

x̂|x⟩ = x|x⟩,  ⟨x|x′⟩ = δ(x − x′)

Пример: оператор импульса в L2(ℝ)

Рассмотрим пространство квадратно-интегрируемых функций:

L2(ℝ) = {ψ : ℝ → ℂ | ∫−∞∞|ψ(x)|2dx < ∞}

Оператор импульса:

$$ \hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx} $$

не является ограниченным и не определён на всём L2, но на плотном подмножестве (например, на ????(ℝ)) он симметричен и допускает самосопряжённое продолжение. Его спектр непрерывен, а собственные функции — это плоские волны eipx/ℏ, не принадлежащие L2, но являющиеся элементами Φ′.

Тензорное произведение гильбертовых пространств

Для составных квантовых систем используется тензорное произведение пространств:

ℋtot = ℋ1 ⊗ ℋ2

Если {|ψi⟩} — базис в ℋ1, и {|ϕj⟩} — в ℋ2, то базис в ℋtot образуется как |ψi⟩⊗|ϕj⟩. Такое представление необходимо для описания сплетения, взаимодействий и многочастичных состояний.

Унитарные и антиунитарные операторы

Унитарный оператор U удовлетворяет:

U†U = UU† = I

Он сохраняет внутреннее произведение: ⟨Uψ|Uϕ⟩ = ⟨ψ|ϕ⟩

Антиунитарные операторы возникают, например, в описании обращения времени (оператор ????) и удовлетворяют:

$$ \langle A\psi | A\phi \rangle = \overline{ \langle \psi | \phi \rangle } $$

Теорема Стоуна и групповые представления

Если U(t) — непрерывная унитарная группа на ℋ, то по теореме Стоуна существует самосопряжённый оператор H, такой что:

U(t) = e−iHt

Это формализует динамику квантовой системы: H — гамильтониан, U(t) — эволюция во времени.

Роль функционального анализа в теоретической физике

Функциональный анализ обеспечивает:

  • строгую математическую формализацию постулатов квантовой механики;
  • спектральные методы для анализа гамильтонианов;
  • основу для построения теории квантовых полей и непрерывных систем;
  • инструменты для теории рассеяния, теоремы Гильберта-Шмидта, разложения по собственным функциям.

Особое значение имеют пространства L2, операторы в них, спектральные теоремы, а также корректное определение доменов операторов и граничных условий.

Функциональный анализ в физике — это не просто вспомогательная дисциплина, а фундаментальный язык, без которого невозможна строгая и глубокая формулировка квантовой теории и других теоретико-физических конструкций.

Оглавление