Переход от лагранжева формализма к гамильтонову осуществляется посредством легандрa-преобразования, при котором координаты qi и обобщённые скорости q̇i заменяются на канонические переменные qi и pi, где
$$ p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} $$
— обобщённые импульсы. Гамильтониан H определяется как
$$ H(q, p, t) = \sum_{i=1}^n p_i \dot{q}_i - L(q, \dot{q}, t) $$
где q̇i выражаются через qi и pi.
Уравнения движения в гамильтоновом формализме:
$$ \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} $$
Эти 2n уравнений первого порядка эквивалентны лагранжевым уравнениям второго порядка.
Гамильтонова механика симметрична относительно координат и импульсов, легко обобщается на квантовые системы и особенно удобна при анализе симметрий и интегрируемости. Основное преимущество — возможность использования геометрических и алгебраических структур: фазовое пространство, симплектическая геометрия, канонические преобразования, теория Пуассона.
Фазовое пространство Γ — это пространство 2n-мерных точек (qi, pi). На нём естественно вводится симплектическая форма:
$$ \omega = \sum_{i=1}^n dq_i \wedge dp_i $$
которая определяет структуру Пуассона и задаёт динамику системы. Уравнения Гамильтона можно записать через симплектическую форму:
ιXHω = dH
где XH — гамильтонов векторный поток.
Для любых двух функций f(q, p), g(q, p) на фазовом пространстве определим скобку Пуассона:
$$ \{f, g\} = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial q_i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i} \right) $$
Скобка Пуассона имеет свойства билинейности, антисимметричности, удовлетворяет правилу Лейбница и тождеству Якоби:
{f, {g, h}} + {g, {h, f}} + {h, {f, g}} = 0
Динамика функции f во времени задаётся уравнением:
$$ \frac{df}{dt} = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t} $$
Если существует функция F(q, p), такая что {F, H} = 0, то F сохраняется во времени — это интеграл движения. Система называется интегрируемой по Лиувиллю, если имеется n в существенном смысле независимых интегралов в инволюции:
{Fi, Fj} = 0, i, j = 1, …, n
При этом возможен переход к действиям и углам — новым каноническим переменным, делающим уравнения движения тривиальными.
Преобразования переменных (q, p) → (Q, P), сохраняющие форму гамильтоновых уравнений, называются каноническими. Для них сохраняется симплектическая форма:
ω = ∑dqi ∧ dpi = ∑dQi ∧ dPi
Каноничность можно проверять с помощью условий Пуассона:
{Qi, Qj} = 0, {Pi, Pj} = 0, {Qi, Pj} = δij
Канонические преобразования могут быть заданы с помощью порождающих функций, например:
$$ F_2(q, P): \quad p_i = \frac{\partial F_2}{\partial q_i}, \quad Q_i = \frac{\partial F_2}{\partial P_i} $$
Если лагранжиан явно зависит от времени, гамильтониан также становится функцией времени:
H = H(q, p, t)
и уравнения сохраняют вид, но появляется явная временная зависимость. В случае наличия электромагнитного поля, гамильтониан записывается с учётом минимального взаимодействия:
$$ H = \frac{1}{2m} \left( \mathbf{p} - \frac{e}{c} \mathbf{A} \right)^2 + e \phi $$
В системах с ограничениями (например, неинтегрируемые связи) применим формализм Дирака, в котором вводятся первичные и вторичные ограничения, и скобка Пуассона заменяется на обобщённую скобку Дирака. Это особенно важно в теории поля и при квантовании систем с калибровочной симметрией.
Современный подход трактует гамильтонову механику как динамику на симплектическом многообразии (M, ω). Каждой гладкой функции H ∈ C∞(M) сопоставляется гамильтонов вектор XH, определяемый как:
ιXHω = dH
Эта структура позволяет формализовать динамику как поток на многообразии, а также применить методы алгебраической и дифференциальной геометрии.
Рассмотрим гамильтониан:
$$ H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 q^2 $$
Уравнения движения:
$$ \dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}, \quad \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q} = -m\omega^2 q $$
что приводит ко второму порядку уравнению:
$$ \ddot{q} + \omega^2 q = 0 $$
Система интегрируема, с сохранением энергии:
E = H = const
Для частицы массы m в центральном потенциале V(r), гамильтониан в сферических координатах:
$$ H = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{L^2}{2mr^2} + V(r) $$
где L — момент импульса, сохраняющийся в силу центральной симметрии. Такая система сводится к одномерной с эффективным потенциалом:
$$ V_{\text{эфф}}(r) = \frac{L^2}{2mr^2} + V(r) $$
Гамильтонова механика лежит в основе канонического квантования. При переходе к квантовой механике переменные q и p становятся операторами с коммутационными соотношениями:
[q̂i, p̂j] = iℏδij
а скобки Пуассона переходят в коммутационные скобки. Таким образом, гамильтониан становится оператором, задающим уравнение Шрёдингера:
$$ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi = \hat{H} \psi $$
Гамильтонов формализм используется не только в механике, но и в классической теории поля, статистической физике, теории относительности и квантовой теории. Он обеспечивает универсальный язык описания динамики и сохраняющих симметрий. Во многих теориях он представляет собой основу для квантования, построения интегрируемых моделей и формулировки законов сохранения через теорему Нётер.