Поле гравитационного излучения в общей теории относительности
Для описания гравитационных волн в рамках общей теории относительности используется линеаризованное приближение. Метрика представляется в виде малого возмущения hμν на фоне плоского пространства Минковского:
gμν = ημν + hμν, |hμν| ≪ 1
Здесь ημν — метрика Минковского, а hμν — малое отклонение от неё. В таком приближении кривая метрика приводит к линейным уравнениям на hμν, которые удобно рассматривать в калибровке Лоренца:
$$ \partial^\mu \bar{h}_{\mu\nu} = 0, \quad \bar{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} h, \quad h = h^\lambda_{\ \lambda} $$
В этой калибровке уравнения Эйнштейна в вакууме сводятся к волновому уравнению:
□h̄μν = 0
где □ = ηαβ∂α∂β — волновой оператор в плоском пространстве.
Общие решения этого уравнения представляют собой суперпозицию плоских волн. Рассмотрим плоскую гравитационную волну, распространяющуюся вдоль направления z:
h̄μν(t, z) = Aμνcos (kz − ωt)
где ω = |k|, и Aμν — постоянный тензор амплитуды. Используя калибровочные свободы, можно перейти к поперечно-трассированной (TT) калибровке, в которой волна имеет лишь два независимых компонента — два поляризационных состояния:
$$ h_{\mu\nu}^{TT} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & h_+ & h_\times & 0 \\ 0 & h_\times & -h_+ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \cos(k z - \omega t) $$
Здесь h+ и h× обозначают поляризации + и ×, соответствующие различным формам деформации плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.
Несмотря на то, что гравитационное поле в общей теории относительности не обладает локализованной плотностью энергии в обычном смысле, можно определить эффективный тензор энергии-импульса гравитационных волн в линеаризованной теории. Он имеет вид:
$$ t_{\mu\nu}^{GW} = \frac{1}{32\pi G} \langle \partial_\mu h^{TT}_{\alpha\beta} \partial_\nu h^{TT\,\alpha\beta} \rangle $$
где ⟨⋯⟩ обозначает усреднение по нескольким периодам. В этой формуле видно, что перенос энергии осуществляется в направлении распространения волны, и пропорционален квадрату производной от амплитуды.
В отличие от электромагнитных волн, гравитационное излучение не имеет дипольного характера. Это связано с сохранением энергии, импульса и центра масс. Основной вклад в гравитационное излучение дает квадрупольный момент системы. В линеаризованной теории мощность излучения даётся формулой:
$$ P = \frac{G}{5c^5} \left\langle \dddot{Q}_{ij} \dddot{Q}^{ij} \right\rangle $$
где Qij — тензор квадрупольного момента:
$$ Q_{ij} = \int \rho \left( x^i x^j - \frac{1}{3} \delta^{ij} r^2 \right) d^3x $$
Тройная производная по времени от квадрупольного момента определяет интенсивность гравитационного излучения. Эта формула лежит в основе оценки потерь энергии двойных звёздных систем.
Для двух масс m1 и m2, вращающихся по круговым орбитам с радиусом R, скорость потери энергии:
$$ \frac{dE}{dt} = -\frac{32}{5} \frac{G^4}{c^5} \frac{(m_1 m_2)^2 (m_1 + m_2)}{R^5} $$
Эта потеря энергии приводит к уменьшению радиуса орбиты и, в итоге, к слиянию тел. Наблюдения двойных пульсаров, например системы PSR B1913+16, дали первое экспериментальное подтверждение существования гравитационных волн.
Гравитационная волна, проходя через область, содержащую пробные тела, вызывает изменение расстояний между ними. Это описывается геодезической девиацией. В TT-калибровке расстояние между двумя пробными частицами изменяется в зависимости от формы поляризации волны.
Для поляризации h+ деформация проявляется в чередующемся сжатии и растяжении вдоль двух взаимно перпендикулярных направлений. Поляризация h× даёт такую же деформацию, но в повернутой на 45∘ системе координат.
Современные детекторы, такие как интерферометры LIGO и VIRGO, чувствительны к изменению относительных длин плеч, вызванному прохождением гравитационной волны. Типичные величины относительного растяжения ΔL/L порядка:
h ∼ 10−21
Для регистрации таких малых величин используется лазерная интерферометрия на базе двух перпендикулярных плеч длиной несколько километров, с использованием зеркал, подвешенных на сверхчувствительных подвесах.
Первое прямое наблюдение гравитационной волны было сделано в сентябре 2015 года (GW150914), когда была зафиксирована волна от слияния двух черных дыр. Это наблюдение открыло новую эру гравитационно-волновой астрономии, предоставив уникальный канал для изучения высокоэнергетических процессов во Вселенной.
В общем случае гравитационные волны могут распространяться не только на фоне плоской метрики, но и в произвольном пространстве-времени. В этом случае приближение ВКБ (высокочастотное приближение) позволяет описать волны как квазиклассические возбуждения, распространяющиеся вдоль нуль-геодезических линий, перенося с собой тензор поляризации, подчиняющийся параллельному переносу.
Эволюция гравитационных волн в таких условиях определяется более сложной геометрией и может включать эффекты линзирования, рассеяния и дисперсии, в зависимости от кривизны пространства-времени.
В рамках линейной теории гравитационные волны могут быть квантованы как безмассовые тензорные бозоны — гравитоны, со спином 2. Эти квазичастицы должны удовлетворять уравнению типа Клейна-Гордона с тензорной структурой. Однако полное квантование гравитационного поля в нелинейной теории остаётся нерешённой задачей современной теоретической физики, и требует объединения общей теории относительности с квантовой механикой — так называемой теории квантовой гравитации.
Помимо одиночных событий, таких как слияния чёрных дыр, во Вселенной существует стохастический гравитационный фон, состоящий из наложения множества слабых гравитационных волн от различных источников — реликтовых (например, инфляционного происхождения) и астрофизических. Этот фон является аналогом космического микроволнового фона, но в гравитационном секторе, и его обнаружение позволит заглянуть в самые ранние эпохи существования Вселенной, до времени рекомбинации.
В общей теории относительности существуют только два тензорных поляризационных состояния. Однако в альтернативных теориях гравитации, таких как скаляр-тензорные, возможны также скалярные и векторные моды. Наблюдение дополнительных поляризаций может служить экспериментальным тестом общей теории относительности и указанием на физику за её пределами.