Интегральные уравнения

Классификация интегральных уравнений

Интегральные уравнения представляют собой важный класс уравнений, в которых искомая функция входит под знаком интеграла. В зависимости от формы, вида ядра и характера искомой функции интегральные уравнения классифицируются следующим образом:

1. По расположению искомой функции:

   • Уравнения Фредгольма: искомая функция под знаком интеграла, пределы интегрирования постоянны:

     φ(x) = f(x) + λ∫_a^bK(x, t)φ(t) dt

   • Уравнения Вольтерра: переменный верхний предел интегрирования:

     φ(x) = f(x) + λ∫_a^xK(x, t)φ(t) dt

2. По линейности:

   • Линейные: интеграл и правая часть линейны по функции φ(t).
   • Нелинейные: наличие нелинейности по φ(t) внутри подынтегрального выражения или вне его.

3. По степени уравнения:

   • Уравнения первого рода:

     f(x) = ∫_a^bK(x, t)φ(t) dt

   • Уравнения второго рода:

     φ(x) = f(x) + λ∫_a^bK(x, t)φ(t) dt

4. По характеру ядра K(x, t):

   • Непрерывное ядро
   • Разрывное, сингулярное или обобщённое ядро (например, дельта-функция)

Основные методы решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода

Для уравнений вида

φ(x) = f(x) + λ∫_a^bK(x, t)φ(t) dt

наиболее часто применяются следующие методы:

1. Метод последовательных приближений (итераций)

При достаточно малом значении параметра λ решение можно искать в виде ряда Неймана:

φ(x) = f(x) + λ∫_a^bK(x, t)f(t) dt + λ²∫_a^b∫_a^bK(x, t)K(t, s)f(s) ds dt + ⋯

При выполнении условий сходимости (например, λ⋅∥K∥ < 1) данный ряд сходится к решению уравнения.

2. Метод разрешающего ядра

Рассматривается резольвентное (разрешающее) ядро R(x, t; λ), удовлетворяющее:

R(x, t; λ) = K(x, t) + λ∫_a^bK(x, s)R(s, t; λ) ds

Тогда решение уравнения записывается как:

φ(x) = f(x) + λ∫_a^bR(x, t; λ)f(t) dt

3. Метод разложения по собственным функциям

Если ядро симметрично: K(x, t) = K(t, x), и удовлетворяет условиям теоремы Хильберта–Шмидта, можно воспользоваться разложением по ортонормированным собственным функциям {ϕ_n(x)}:

$$ K(x, t) = \sum_{n=1}^\infty \lambda_n \phi_n(x)\phi_n(t) $$

Тогда:

$$ \varphi(x) = f(x) + \lambda \sum_{n=1}^\infty \lambda_n \phi_n(x) \int_a^b \phi_n(t)\varphi(t)\, dt $$

Используя ортогональность, удаётся свести задачу к решению системы линейных уравнений для коэффициентов разложения.

Собственные значения и резольвента

При $\lambda = \lambda_n = \frac{1}{\mu_n}$, где μ_n — собственные значения интегрального оператора, уравнение может иметь неоднозначное или бесконечно-многократное решение. Это связано с наличием нетривиального решения однородного уравнения:

φ(x) = λ∫_a^bK(x, t)φ(t) dt

Спектральная теория интегральных операторов тесно связана с линейными операторными методами в гильбертовом пространстве.

Интегральные уравнения первого рода и задача об обращения операторов

Уравнение первого рода:

f(x) = ∫_a^bK(x, t)φ(t) dt

имеет фундаментальное отличие: оно неявно определяет искомую функцию φ(t), и часто требует регуляризации. Это задача обращения интегрального оператора A, действующего по формуле:

A[φ](x) = ∫_a^bK(x, t)φ(t) dt

Решение требует либо построения обратного оператора A⁻¹, если он существует, либо использования регуляризационных методов (например, метод Тихонова):

(A^*A + αI)φ_α = A^*f

Интегральные уравнения в физических задачах

1. Потенциальная теория

В электростатике и гравитации решение уравнений Лапласа с заданными граничными условиями может быть приведено к уравнению Фредгольма:

$$ \varphi(x) = \int_\Gamma \frac{\partial G(x, t)}{\partial n_t} \sigma(t)\, dS_t $$

где G(x, t) — фундаментальное решение (функция Грина), Γ — граница области, σ(t) — плотность источника.

2. Задача о рассеянии в квантовой механике

Интегральное уравнение Липпмана–Швингера:

ψ(r) = ψ₀(r) + ∫G₀(r, r′)V(r′)ψ(r′) d³r′

содержит в себе полную информацию о волновой функции ψ в присутствии потенциального рассеяния V(r), где G₀ — свободная функция Грина.

3. Теория дифракции и задачи акустики

Уравнение Кирхгофа для дифракции волн в классической оптике и акустике сводится к уравнению с интегральным оператором, ядро которого содержит производную функции Грина по нормали.

Связь с уравнениями в частных производных

Многие дифференциальные уравнения, особенно эллиптического и параболического типа, могут быть эквивалентно записаны как интегральные уравнения. Это особенно важно в граничных задачах, где метод потенциальных функций позволяет формализовать решение в виде интегральных представлений, обеспечивая численную устойчивость и аналитическую трактовку.

Интегральные уравнения с особенностями: сингулярные и гиперсингулярные ядра

В задачах механики сплошных сред, электродинамики, теории упругости возникают уравнения со слабой или сильной особенностью ядра. Пример:

$$ \varphi(x) = \int_a^b \frac{\varphi(t)}{x - t}\, dt $$

так называемое уравнение с ядром Коши, решаемое методами теории сингулярных интегралов (например, с использованием преобразования Хильберта). Это требует специального функционального анализа и часто связано с задачами на краевых особенностях.

Численные методы решения интегральных уравнений

1. Метод коллокаций: выбирается конечное число узлов {x_i}, и решение аппроксимируется линейной комбинацией базисных функций, сводя интегральное уравнение к системе линейных алгебраических уравнений.

2. Метод квадратур: применяется к приближённому вычислению интегралов с использованием весов и узлов, с последующим сведением уравнения к системе линейных уравнений.

3. Метод моментов (Гальпертина): интеграл преобразуется с помощью ортогональных базисов (например, полиномов Лежандра), переводя задачу в пространство коэффициентов.

Эти методы особенно важны при решении уравнений в сложной геометрии и в рамках компьютерного моделирования.

Интегральные операторы и функциональный анализ

Интегральные уравнения тесно связаны с теорией операторов. Интегральный оператор

(Aφ)(x) = ∫_a^bK(x, t)φ(t) dt

может быть рассмотрен как оператор на гильбертовом пространстве L²(a, b). При этом:

• Компактность оператора A означает, что спектр состоит из нуля и счётного числа собственных значений, сходящихся к нулю.
• При симметричности K(x, t) = K(t, x) оператор самосопряжён.

Инструменты спектральной теории и теоремы о разложении (Хильберта–Шмидта, Мерцбауха) применяются для описания структуры решения.

Роль интегральных уравнений в теоретической физике

Интегральные уравнения играют фундаментальную роль как в построении моделей физических процессов, так и в численных методах. Они выступают в качестве:

• эквивалентных форм дифференциальных уравнений,
• средств формулировки краевых задач,
• основы для вариационных и функциональных методов.

Они особенно эффективны в задачах, где симметрии или геометрия области позволяют использовать фундаментальные решения и интегральные представления.