Интегрируемые системы в теоретической физике
Определение и критерий Лиувилля
В рамках гамильтоновой механики система с n степенями свободы называется интегрируемой по Лиувиллю, если существует n независимых в смысле функции Пуассона первых интегралов F1 = H, F2, …, Fn, попарно в involution, т.е.
{Fi, Fj} = 0, ∀ i, j = 1, …, n.
При выполнении этих условий динамика системы может быть сведена к квадратирам — интеграции в конечных выражениях.
В частности, согласно теореме Лиувилля-Арнольда, если гамильтонова система обладает n независимыми и в involution интегралами движения, то фазовое пространство в окрестности регулярного уровня этих интегралов можно параметризовать действиями и углами — переменными (Ii, θi), в которых уравнения движения принимают тривиальный вид:
İi = 0, θ̇i = ωi(I), i = 1, …, n.
Здесь Ii — действия, постоянные величины на траектории, а θi — углы, линейно возрастающие со временем.
Траектории интегрируемых систем в пространстве 2n-мерной фазы заполняют n-мерные торы ????n, являющиеся инвариантными многообразиями. Движение по таким торам квазипериодично:
θi(t) = θi(0) + ωit,
где вектор частот ω⃗ = (ω1, …, ωn) определяет частотный вектор движения. При рациональной зависимости компонент ω⃗ траектория замкнута, при иррациональной — заполняет тор всюду плотно.
Маятник и гармонический осциллятор
Простейшие одномерные системы: гармонический осциллятор, линейный и нелинейный маятник — обладают одним первым интегралом (энергией), что делает их тривиально интегрируемыми.
Двумерный изоэнергетический осциллятор
Гамильтониан вида:
$$ H = \frac{1}{2}(p_x^2 + p_y^2) + \frac{1}{2}(\omega_x^2 x^2 + \omega_y^2 y^2) $$
интегрируем, так как обе энергии по степеням свободы сохраняются отдельно, если ωx/ωy иррационально, и траектории квазипериодичны.
Задача Кеплера
Классический пример интегрируемой системы с центральным полем. Интегралы: энергия, компоненты углового момента и вектор Лапласа-Рунге-Ленца. Несмотря на кажущуюся сверхинтегрируемость, задача по-прежнему укладывается в структуру Лиувилля.
Топы Эйлера, Лагранжа и Ковалевской
Это примеры интегрируемых вращательных движений твёрдого тела вокруг неподвижной точки. В системе Ковалевской, в частности, интегрируемость обеспечивается наличием дополнительного, весьма нетривиального интеграла движения.
Система называется сверхинтегрируемой, если в ней существует больше независимых первых интегралов, чем степеней свободы, но они не все в попарной инволюции. Предельный случай — максимально суперинтегрируемая система, обладающая 2n − 1 независимыми интегралами.
Примеры:
Система Кортевега-де Фриза (KdV)
Одно из самых известных нелинейных эволюционных уравнений:
∂tu + 6u∂xu + ∂x3u = 0
является интегрируемым в смысле бесконечного числа сохранённых количеств и допускает солитонные решения. Основной метод интегрирования — инверсная задача рассеяния (IST).
Система Тоды
Модель с экспоненциальным взаимодействием между ближайшими соседями:
$$ H = \sum_{i=1}^n \left( \frac{p_i^2}{2} + a e^{-(q_{i+1} - q_i)} \right) $$
является интегрируемой: можно построить n интегралов в инволюции. Через метод Лакса возможна явная интеграция системы.
Модель Калиогеро-Мозера
Система частиц с взаимодействием ∝ 1/(xi − xj)2:
$$ H = \sum_{i=1}^n \frac{p_i^2}{2} + g^2 \sum_{i < j} \frac{1}{(x_i - x_j)^2} $$
представляет собой квантовую и классическую интегрируемую модель с богатой алгебраической структурой (связанной с симметриями типа An).
Многие интегрируемые системы допускают представление в виде лаксовой пары:
$$ \frac{dL}{dt} = [L, A], $$
где L и A — матрицы, зависящие от динамических переменных. Это эквивалентно сохранению спектра оператора L: Spec(L(t)) = const, что позволяет проводить интегрирование через диагонализацию.
Примеры:
Интегрируемые системы тесно связаны с алгебраической геометрией. Многие из них допускают описание через спектральные кривые, построенные как характеристические уравнения оператора L:
det (L(λ) − μI) = 0.
Такая кривая определяет риманову поверхность, на которой можно ввести линейные потоки. Эволюция системы реализуется как линейное движение по якобиану кривой, а её динамика описывается через теории дивизоров, абелевы функции и тета-функции.
Интегрируемые уравнения часто входят в бесконечные иерархии, например, иерархия KdV. Они описываются би-гамильтоновой структурой:
$$ \frac{du}{dt_n} = P_1 \frac{\delta H_{n+1}}{\delta u} = P_2 \frac{\delta H_n}{\delta u}, $$
где P1 и P2 — совместимые гамильтоновы операторы. Это позволяет получить бесконечную последовательность взаимно совместимых потоков и интегралов движения.
Квантовая система Калиогеро
Квантование классической модели ведёт к спектру, близкому к модели гармонического осциллятора с коррекциями. Квантовая интегрируемость требует существования набора коммутирующих самосопряжённых операторов.
Модель Хаббарда и спин-цепочки
Важные примеры — модель XXX (Гейзенберга), модель XXZ и модель Хаббарда, изучаемые в теории твёрдого тела и квантовой статистике. Они интегрируемы при помощи алгебраического метода Бете и связаны с квантовыми группами.
Квантовая обратная задача рассеяния
Аналогично классическому случаю, существует метод квантовой инверсной задачи рассеяния, применимый к уравнениям типа Шрёдингера. В частности, решается задача нахождения потенциала по спектральным данным.
Бете-анзац (Bethe ansatz) — способ построения собственных функций гамильтониана для квантовых интегрируемых систем с помощью параметров, удовлетворяющих системе уравнений Бете:
$$ e^{ik_jL} = \prod_{\substack{l=1 \\ l\ne j}}^N S(k_j, k_l), $$
где S — матрица рассеяния между частицами. Решения определяют спектр энергии и квантовые числа.
Системы, допускающие Бете-анзац, обладают богатой симметрией и часто описываются в терминах алгебр Янга и квантовых групп.
Интегрируемые модели находят широкое применение в (1+1)-мерных квантовых теориях поля. Примеры:
Скалярная модель синус-Гордона:
□ϕ + sin ϕ = 0
— классическая и квантовая интегрируемость, наличие солитонов.
Нелинейная модель σ-типа и двумерная Янга-Миллса теория — примеры систем с бесконечным числом симметрий и сохранённых величин.
Интегрируемые системы часто организованы вокруг алгебраических структур:
Наличие таких структур обеспечивает возможность построения точного решения, полного спектра, корреляционных функций и операторов переноса.