Основные положения теории электромагнитного излучения
Электромагнитное излучение представляет собой распространение возмущений электромагнитного поля в пространстве, вызванное ускоренным движением электрических зарядов. В соответствии с уравнениями Максвелла, изменение во времени электрического поля сопровождается возникновением магнитного поля, и наоборот. Такое взаимное «развитие» полей обеспечивает существование электромагнитной волны.
Рассмотрим в вакууме без источников уравнения Максвелла:
∇ ⋅ E⃗ = 0, ∇ ⋅ B⃗ = 0,
$$ \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, \quad \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}. $$
Применяя операцию ротора ко второму уравнению и используя векторные тождества, получаем волновое уравнение для электрического поля:
$$ \nabla^2 \vec{E} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = 0, $$
и аналогично для магнитного поля:
$$ \nabla^2 \vec{B} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = 0. $$
Таким образом, электромагнитное поле в вакууме распространяется в виде волн со скоростью света $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$.
Пусть в пространстве имеется точечный заряд q, движущийся с ускорением. Именно ускорение заряда приводит к нарушению симметрии электромагнитного поля и возникновению волновых возмущений, которые и есть электромагнитное излучение.
Электрическое и магнитное поля от движущегося заряда можно выразить через потенциалы Лиенара–Вихерта. Для больших расстояний от источника (зона излучения), поля ведут себя как:
$$ \vec{E}(\vec{r}, t) \approx \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 c^2 R} \left[ \vec{n} \times \left( \vec{n} \times \dot{\vec{v}} \right) \right]_{t_{\text{рет}}}, $$
где n⃗ — единичный вектор в направлении от источника к наблюдателю, $\dot{\vec{v}}$ — ускорение заряда, а tрет — ретардированное время (учитывающее запаздывание сигнала).
Один из наиболее важных и широко изучаемых типов излучения — это электрическое дипольное излучение. Пусть имеется осциллирующий электрический диполь с моментом:
p⃗(t) = p⃗0cos (ωt).
В дальнем поле соответствующие излучаемые электрическое и магнитное поля:
$$ \vec{E}(\vec{r}, t) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 c^2} \left( \frac{\ddot{\vec{p}}(t_{\text{рет}}) \times \vec{n}}{r} \right) \times \vec{n}, \quad \vec{B} = \vec{n} \times \vec{E}/c. $$
Плотность потока энергии (вектор Пойнтинга) в этом случае:
$$ \vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B}, $$
и в среднем по времени:
$$ \langle S \rangle = \frac{\mu_0 \omega^4 p_0^2}{32\pi^2 c} \frac{\sin^2 \theta}{r^2}. $$
Полная мощность излучения (радиационная мощность):
$$ P = \frac{\mu_0 \omega^4 p_0^2}{12\pi c}. $$
Для точечного заряда q, движущегося с ускорением a⃗, мощность излучения в электродинамике в нерелятивистском пределе задается формулой Лармора:
$$ P = \frac{q^2 a^2}{6\pi \varepsilon_0 c^3}. $$
Эта мощность убывает как 1/r2 от источника, что характерно для сферически расходящегося потока энергии.
Излучение ускоренного заряда не является изотропным. Угловое распределение определяется направлением ускорения относительно направления наблюдения. В случае дипольного излучения характерна диаграмма направленности типа “восьмёрки”, где интенсивность максимальна в плоскости, перпендикулярной направлению диполя, и равна нулю вдоль него.
При анализе излучения различают три зоны:
Система зарядов излучает, если её мультипольные моменты изменяются со временем. Основной вклад в излучение обычно дают:
Чем выше порядок момента, тем слабее его вклад в излучение.
Для частиц, движущихся с релятивистскими скоростями (близкими к c), характерно синхротронное излучение, которое отличается высокой направленностью и поляризацией.
Если частица движется по окружности в магнитном поле с большой скоростью, её излучение фокусируется в узком конусе в направлении движения. Угловая ширина излучения порядка 1/γ, где γ — релятивистский фактор Лоренца.
Излучающее тело теряет энергию. Это приводит к радиационному торможению — дополнительной силе, действующей на заряд, обусловленной его собственным излучением. В нерелятивистском приближении сила Абрахам–Лоренца имеет вид:
$$ \vec{F}_{\text{рад}} = \frac{q^2}{6\pi \varepsilon_0 c^3} \ddot{\vec{a}}. $$
Эта сила зависит от производной ускорения, что приводит к сложным и часто неустойчивым уравнениям движения. В релятивистском случае используется формализм Лившица–Дирака.
Если заряд движется в среде с показателем преломления n > 1, и его скорость превышает фазовую скорость света в этой среде, возникает черенковское излучение. Оно испускается под углом θ, определяемым:
$$ \cos \theta = \frac{c}{nv}. $$
Это излучение важно в физике высоких энергий, ядерной и астрофизике.
Хотя классическая теория излучения дает точные и полезные описания для макроскопических систем, излучение атомов, переходы между квантовыми уровнями и процессы поглощения/испускания фотонов требуют квантово-электродинамического подхода. Тем не менее, классические методы, основанные на уравнениях Максвелла и анализе ускоренных зарядов, остаются основополагающими для описания излучения в широком диапазоне применений.