Движение релятивистских частиц и их излучение
В релятивистском приближении рассмотрение электромагнитного поля заряда требует учёта эффектов Лоренц-преобразования. Поле точки с зарядом q, движущейся со скоростью v, в системе отсчёта, где наблюдатель покоится, имеет выражение:
$$ \mathbf{E} = \frac{q(1 - v^2/c^2)(\mathbf{R} - \mathbf{v} R / c)}{(R - \mathbf{v} \cdot \mathbf{R}/c)^3}, \quad \mathbf{B} = \frac{1}{c} \mathbf{v} \times \mathbf{E} $$
Здесь R = r − r0(tret) — вектор от положения источника в момент излучения tret до точки наблюдения r, R = |R|, r0(t) — траектория заряда, $\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}_0}{dt}$, и tret определяется из условия:
$$ t_\text{ret} = t - \frac{R(t_\text{ret})}{c} $$
С увеличением v → c, поле сжимается в направлении, перпендикулярном скорости, образуя узкий «световой конус», в пределах которого сосредоточена основная часть энергии поля. Этот эффект лежит в основе особенностей излучения релятивистских частиц.
Потенциалы точечного заряда, движущегося произвольным образом, даются выражениями:
$$ \varphi(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{(1 - \mathbf{n} \cdot \mathbf{v}/c) R}, \quad \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{q\mathbf{v}}{c(1 - \mathbf{n} \cdot \mathbf{v}/c) R} $$
где $\mathbf{n} = \frac{\mathbf{R}}{R}$, а все величины в правой части вычислены в момент излучения. Из этих потенциалов можно получить электрическое и магнитное поле, включающее компоненты, зависящие от ускорения частицы, что соответствует излучению.
Классическая формула Лармора, описывающая мощность излучения ускоренного заряда:
$$ P = \frac{2}{3} \frac{q^2 a^2}{c^3} $$
при релятивистском обобщении становится:
$$ P = \frac{2}{3} \frac{q^2 \gamma^6}{c^3} \left[ \left( \frac{d\mathbf{v}}{dt} \right)^2 - \left( \frac{\mathbf{v} \times \frac{d\mathbf{v}}{dt}}{c} \right)^2 \right] $$
где $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$. Эта формула указывает на значительное усиление мощности излучения при γ ≫ 1, особенно если ускорение перпендикулярно скорости.
Релятивистская частица, движущаяся по спирали в магнитном поле, излучает преимущественно в узком конусе вдоль касательной к траектории. Это излучение называется синхротронным. Особенности синхротронного излучения:
Полная мощность синхротронного излучения:
$$ P = \frac{2}{3} \frac{q^2 \gamma^4 a^2}{c^3} $$
При круговом движении ускорение a = v2/R, и поэтому:
$$ P = \frac{2}{3} \frac{q^2 \gamma^4 v^4}{c^3 R^2} $$
С учетом v ≈ c, можно упростить:
$$ P \approx \frac{2}{3} \frac{q^2 c \gamma^4}{R^2} $$
Вектор Пойнтинга, определяющий плотность потока излучения, в дальней зоне выражается через поле ускорения:
$$ \mathbf{S} = \frac{c}{4\pi} \left| \mathbf{E}_\text{изл} \right|^2 \mathbf{n}, \quad \mathbf{E}_\text{изл} = \frac{q}{c^2 R} \left[ \mathbf{n} \times \left[ \left( \mathbf{n} - \frac{\mathbf{v}}{c} \right) \times \frac{d\mathbf{v}}{dt} \right] \right] \frac{1}{(1 - \mathbf{n} \cdot \mathbf{v}/c)^3} $$
Из этой формулы видно, что при v → c излучение сосредоточено в узком конусе в направлении движения, так как знаменатель стремится к нулю при n ∥ v.
Интегрируя по телесному углу, получаем дифференциальное распределение:
$$ \frac{dP}{d\Omega} = \frac{q^2}{4\pi c^3} \left| \frac{\mathbf{n} \times \left[ \left( \mathbf{n} - \mathbf{v}/c \right) \times \dot{\mathbf{v}} \right]}{(1 - \mathbf{n} \cdot \mathbf{v}/c)^3} \right|^2 $$
Что подтверждает направленность излучения при релятивистских скоростях.
Резкое замедление релятивистской частицы в кулоновском поле ядра приводит к тормозному излучению (брэмсстраhlung). Спектрально-угловое распределение энергии имеет особенности:
Излучаемая энергия пропорциональна Z2, где Z — заряд ядра, и увеличивается с ростом энергии частицы.
Если релятивистская частица движется в среде со скоростью v > c/n, где n — показатель преломления, она излучает свет — излучение Черенкова. Условия возникновения:
$$ \cos \theta = \frac{1}{\beta n}, \quad \beta = v/c $$
Излучение испускается по поверхности конуса с углом θ, называемым углом Черенкова. Спектр излучения — непрерывный, с интенсивностью, растущей с частотой (в пределах прозрачности среды).
Интенсивность на единицу длины пути:
$$ \frac{d^2 W}{dx d\omega} = \frac{q^2 \omega}{c^2} \left( 1 - \frac{1}{\beta^2 n^2(\omega)} \right) $$
что приводит к характерному синему свечению.
Взаимодействие релятивистских электронов с фотонами приводит к комптоновскому рассеянию. В случае, когда фотоны рассеиваются на релятивистских электронах (а не наоборот), говорят об обратном Комптоновском эффекте.
Энергия рассеянного фотона в лабораторной системе:
$$ \omega' \approx \frac{4 \gamma^2 \omega}{1 + 4 \gamma \omega / mc^2} $$
При этом начальный фотон (например, инфракрасный или микроволновый) может приобретать энергию в рентгеновском и гамма-диапазоне. Это один из механизмов высокоэнергетического излучения в астрофизике (джеты, квазары).
Для большинства типов излучения релятивистских частиц характерны:
Важную роль играют функции Бесселя и эрмитовы многочлены при точном описании спектров, особенно в задачах квантовой электродинамики и ускорительной физики.
Хотя описанное излучение трактуется в рамках классической электродинамики, в ряде случаев необходимо учитывать квантовые эффекты:
Квантовое описание важно при энергии фотонов, сравнимой с энергией покоя электрона mc2, а также при наличии сильных полей, близких к критическим (поле Швингера).