Канонические преобразования

Определение и фундаментальные свойства

Каноническими называются такие преобразования обобщённых координат и импульсов, при которых сохраняется форма гамильтоновых уравнений движения. Пусть исходные переменные (q_i, p_i), i = 1, …, s, заменяются на новые переменные (Q_i, P_i), и требуется, чтобы уравнения Гамильтона сохранили каноническую структуру:

$$ \dot{Q}_i = \frac{\partial H'}{\partial P_i}, \quad \dot{P}_i = -\frac{\partial H'}{\partial Q_i}, $$

где H′(Q, P, t) — новая гамильтоновая функция в новых переменных. Условием каноничности преобразования является сохранение структуры симплектической формы, а именно:

∑_idp_i ∧ dq_i = ∑_idP_i ∧ dQ_i.

Иначе говоря, каноническое преобразование должно сохранять симплектическую структуру фазового пространства, и, следовательно, фазовый объём: ∏_idp_idq_i = ∏_idP_idQ_i. Это выражение отражает теорему Лиувилля о сохранении объёма в фазовом пространстве.

Условие Пуассона

Каноническое преобразование должно сохранять скобки Пуассона между переменными. В новых переменных должны выполняться следующие отношения:

{Q_i, Q_j} = 0,  {P_i, P_j} = 0,  {Q_i, P_j} = δ_ij.

Это выражение можно использовать в качестве необходимого и достаточного условия каноничности. Если преобразование удовлетворяет этим условиям, оно является каноническим.

Генераторные функции

Канонические преобразования удобно задаются через так называемые генераторные функции, которые обеспечивают сохранение структуры уравнений. Существует четыре стандартных типа генераторных функций в зависимости от выбора независимых переменных:

1. F₁(q, Q, t),
2. F₂(q, P, t),
3. F₃(p, Q, t),
4. F₄(p, P, t).

Рассмотрим, например, функцию F₂(q, P, t). Тогда преобразование задаётся уравнениями:

$$ p_i = \frac{\partial F_2}{\partial q_i}, \quad Q_i = \frac{\partial F_2}{\partial P_i}, \quad H' = H + \frac{\partial F_2}{\partial t}. $$

Применение генераторных функций позволяет строить конкретные канонические преобразования и анализировать их свойства.

Инфинитезимальные канонические преобразования

Рассматривается случай, когда новое состояние отличается от исходного на бесконечно малую величину. Пусть преобразование задаётся:

$$ Q_i = q_i + \varepsilon \frac{\partial G}{\partial p_i}, \quad P_i = p_i - \varepsilon \frac{\partial G}{\partial q_i}, $$

где G(q, p, t) — некоторая функция, называемая генератором преобразования, а ε — малый параметр. Тогда при первом порядке по ε можно показать, что G действительно порождает каноническое преобразование, и изменение любой функции f(q, p, t) при таком преобразовании задаётся скобкой Пуассона:

δf = ε{f, G}.

Это является аналогом коммутатора в квантовой механике, подчёркивая глубокую связь между классической и квантовой теорией.

Канонические преобразования и инварианты

Канонические преобразования играют ключевую роль в нахождении интегралов движения и инвариантов системы. Если функция G(q, p, t) является первой интегральной системы, то порождённое ею инфинитезимальное преобразование оставляет гамильтониан инвариантным. Это связано с теоремой Нётер: непрерывная симметрия системы соответствует сохранению физической величины.

Кроме того, если удаётся подобрать каноническое преобразование, которое приводит гамильтониан к более простой форме (например, к виду H = H(P)), задача интегрирования уравнений движения существенно упрощается, переходя к действиям и углам.

Канонические преобразования и скобки Пуассона

Пусть даны два канонически сопряжённых набора переменных (q_i, p_i) и (Q_i, P_i). Пусть f(q, p) и g(q, p) — произвольные функции на фазовом пространстве. Тогда при каноническом преобразовании скобка Пуассона между этими функциями сохраняет значение:

{f, g}_q, p = {f, g}_Q, P.

Таким образом, канонические преобразования являются автоморфизмами алгебры скобок Пуассона. Это свойство позволяет переносить формальную структуру динамики из одной системы координат в другую, что делает такие преобразования мощным инструментом в анализе механических систем.

Симплектические матрицы

В линейном случае канонические преобразования можно описывать с помощью симплектических матриц. Пусть Z = (q₁, …, q_s, p₁, …, p_s)^T — вектор фазовых координат. Каноническое линейное преобразование:

Z′ = MZ,

будет каноническим тогда и только тогда, когда матрица M удовлетворяет условию симплектичности:

$$ M^T J M = J, \quad \text{где} \quad J = \begin{pmatrix} 0 & I \\ - I & 0 \end{pmatrix}. $$

Группа всех таких матриц образует симплектическую группу Sp(2s, ℝ), которая играет фундаментальную роль в теоретической физике и геометрии фазового пространства.

Канонические преобразования в квантовой механике

В квантовой механике аналогом канонического преобразования служат унитарные преобразования, сохраняющие коммутаторы операторов. Связь между классическими каноническими преобразованиями и квантовыми унитарными отображениями проявляется, например, через квантование канонических преобразований, особенно в формализме операторной квантовой механики и теории Фока.

Если классическая функция G порождает каноническое преобразование, то в квантовой теории оператор e^−iĜ/ℏ порождает соответствующее унитарное преобразование операторов. Таким образом, структура канонических преобразований лежит в основе перехода от классической к квантовой теории.

Примеры канонических преобразований

1. Поворот в фазовом пространстве:

   Пусть:

   $$ Q = q \cos \theta + \frac{p}{m \omega} \sin \theta, \quad P = -m \omega q \sin \theta + p \cos \theta. $$

   Это преобразование соответствует повороту в фазовой плоскости (q, p) на угол θ. Оно каноническое, и соответствующий гамильтониан гармонического осциллятора сохраняет форму.

2. Переход к действию и углу:

   Для гармонического осциллятора:

   $$ H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 q^2 = \omega J, \quad J = \frac{1}{2\pi} \oint p \, dq. $$

   Новые переменные — действие J и угол θ, связаны с (q, p) каноническим преобразованием. Уравнения движения в этих переменных упрощаются до:

   J̇ = 0,  θ̇ = ω.

3. Зеркальное отображение:

   Q = −q,  P = −p.

   Это тривиальное каноническое преобразование, меняющее знак координат и импульсов. Оно сохраняет структуру скобок Пуассона и уравнений Гамильтона.

Роль в интегрировании систем

Канонические преобразования лежат в основе метода Гамильтона–Якоби, где интегрирование уравнений движения сводится к решению одного уравнения в частных производных. В этом подходе задача интегрирования заменяется на нахождение подходящей генераторной функции, переводящей исходную систему в такую, в которой переменные легко поддаются аналитическому решению.

Особенно важным случаем являются канонические преобразования, приводящие систему в переменные действие–угол, применимые к интегрируемым системам, то есть системам с s независимыми интегралами в инволюции. В этом случае динамика становится тривиальной: углы увеличиваются линейно со временем, а действия сохраняются.

Таким образом, канонические преобразования представляют собой центральный концепт аналитической механики, лежащий в основе описания симметрий, инвариантов и интегрирования уравнений движения, а также оказывающий влияние на формализм квантовой теории.