Основные предпосылки и задачи кинетической теории газов
Кинетическая теория газов опирается на представление о веществе как совокупности огромного числа хаотически движущихся микрочастиц (молекул, атомов), взаимодействующих между собой. Основная цель теории — установить количественные связи между макроскопическими параметрами газа (давление, температура, объем) и микроскопическими характеристиками движения частиц (скорости, импульсы, энергия).
Рассматривается идеализированная модель — идеальный газ, в которой пренебрегается взаимодействием между молекулами (за исключением упругих столкновений) и размерами самих молекул. Все молекулы считаются одинаковыми, невзаимодействующими точечными частицами, находящимися в беспорядочном тепловом движении.
Основные допущения модели идеального газа:
Вывод давления идеального газа
Рассмотрим газ в кубическом сосуде объема V = L3, содержащий N молекул массы m. Пусть молекула с компонентой скорости vx сталкивается со стенкой, перпендикулярной оси x. При упругом ударе её импульс по оси x меняется на Δpx = 2mvx.
Число столкновений одной молекулы со стенкой в единицу времени:
$$ \nu = \frac{v_x}{2L} $$
Полный импульс, передаваемый стенке от всех молекул за единицу времени:
$$ \frac{\Delta p}{\Delta t} = \sum_{i=1}^{N} \frac{2mv_{xi}^2}{2L} = \frac{m}{L} \sum_{i=1}^{N} v_{xi}^2 $$
Сила на стенку:
$$ F = \frac{m}{L} \sum_{i=1}^{N} v_{xi}^2 $$
Давление:
$$ P = \frac{F}{L^2} = \frac{m}{L^3} \sum_{i=1}^{N} v_{xi}^2 = \frac{m}{V} \sum_{i=1}^{N} v_{xi}^2 $$
С учетом изотропии движения:
$$ \langle v_x^2 \rangle = \langle v_y^2 \rangle = \langle v_z^2 \rangle = \frac{1}{3} \langle v^2 \rangle \Rightarrow \sum v_{xi}^2 = \frac{1}{3} \sum v_i^2 $$
Тогда окончательная формула:
$$ P = \frac{1}{3} \frac{Nm}{V} \langle v^2 \rangle $$
Связь температуры с кинетической энергией молекул
Температура определяется через среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы:
$$ \langle \varepsilon \rangle = \frac{1}{2} m \langle v^2 \rangle $$
Из закона идеального газа:
PV = NkBT
Сравнивая с предыдущим результатом:
$$ \frac{1}{3} \frac{Nm}{V} \langle v^2 \rangle V = Nk_B T \Rightarrow \frac{1}{2} m \langle v^2 \rangle = \frac{3}{2} k_B T $$
Таким образом:
$$ \langle \varepsilon \rangle = \frac{3}{2} k_B T $$
Распределение молекул по скоростям: распределение Максвелла
Максвелл показал, что в равновесии компоненты скорости молекул распределены по нормальному закону:
$$ f(v_x) = \left( \frac{m}{2\pi k_B T} \right)^{1/2} \exp\left( -\frac{m v_x^2}{2k_B T} \right) $$
Полное распределение по скоростям:
$$ f(\vec{v}) = \left( \frac{m}{2\pi k_B T} \right)^{3/2} \exp\left( -\frac{m v^2}{2k_B T} \right) $$
Распределение по абсолютной величине скорости v:
$$ f(v) = 4\pi v^2 \left( \frac{m}{2\pi k_B T} \right)^{3/2} \exp\left( -\frac{m v^2}{2k_B T} \right) $$
Характеристики распределения:
$$ \langle v \rangle = \sqrt{ \frac{8k_B T}{\pi m} } $$
$$ v_{\text{м.в.}} = \sqrt{ \frac{2k_B T}{m} } $$
$$ v_{\text{с.к.}} = \sqrt{ \langle v^2 \rangle } = \sqrt{ \frac{3k_B T}{m} } $$
Закон распределения молекул по энергиям
Переходя к распределению по кинетической энергии:
$$ f(\varepsilon) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left( \frac{1}{k_B T} \right)^{3/2} \sqrt{\varepsilon} \exp\left( -\frac{\varepsilon}{k_B T} \right) $$
Это гамма-распределение с параметрами α = 3/2, θ = kBT.
Закон Больцмана: распределение по потенциальной энергии
Если молекула находится в поле потенциальных сил (например, в гравитационном), то распределение по координате z (высоте) принимает вид:
$$ n(z) = n_0 \exp\left( -\frac{U(z)}{k_B T} \right) $$
Для гравитационного поля:
$$ U(z) = mgz \Rightarrow n(z) = n_0 \exp\left( -\frac{mgz}{k_B T} \right) $$
Это — барометрическая формула, описывающая убывание плотности газа с высотой.
Значение средней длины свободного пробега
Средняя длина свободного пробега молекулы — это среднее расстояние, которое она проходит между двумя последовательными столкновениями:
$$ \lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n} $$
Здесь d — эффективный диаметр молекулы, n = N/V — концентрация молекул.
Уравнение состояния идеального газа
Используя связь между давлением и средней кинетической энергией:
$$ P = \frac{2}{3} n \langle \varepsilon \rangle = n k_B T \Rightarrow PV = Nk_B T $$
Это и есть уравнение состояния идеального газа, связывающее макроскопические параметры с микроскопическими.
Теорема об равнораспределении энергии
Согласно этой теореме, в состоянии теплового равновесия энергия каждой квадратичной степени свободы составляет $\frac{1}{2} k_B T$. Для поступательного движения в трехмерном пространстве:
$$ \langle \varepsilon \rangle = \frac{3}{2} k_B T $$
Для более сложных систем (молекул с вращением, колебаниями и т.д.) учитываются дополнительные степени свободы.
Вязкость, теплопроводность и диффузия
Кинетическая теория также позволяет получить выражения для транспортных коэффициентов:
$$ \eta \sim \frac{1}{3} n m \langle v \rangle \lambda $$
$$ \kappa \sim \frac{1}{3} n \langle v \rangle \lambda c_v $$
$$ D \sim \frac{1}{3} \langle v \rangle \lambda $$
Эти формулы подтверждают связь макроскопических свойств с микроскопическими параметрами.
Выводы из кинетической теории
Кинетическая теория газов не только воспроизводит известные эмпирические законы (Бойля-Мариотта, Гей-Люссака и др.), но и дает микроскопическую интерпретацию таких фундаментальных понятий, как температура, давление, теплоемкость. Она закладывает основу для дальнейшего перехода к статистической физике и описания неидеальных и квантовых систем.