Функция распределения и фазовое пространство
Кинетическое описание плазмы основывается на введении функции распределения f(r, v, t), которая определяет плотность числа частиц в элементе фазового объёма d3r d3v. То есть, f(r, v, t) d3r d3v есть число частиц, находящихся в момент времени t вблизи точки r и имеющих скорости около v.
Фазовое пространство шестимерно: три координаты пространства и три компоненты скорости. Эволюция функции распределения описывается уравнением Больцмана, которое учитывает перенос и столкновения:
$$ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{m} \cdot \nabla_{\mathbf{v}} f = \left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_{\text{столкн.}} $$
где F — внешняя сила, действующая на частицу массы m.
В плазме важнейшими являются электромагнитные силы:
F = q(E + v × B)
Следовательно, уравнение Больцмана принимает форму:
$$ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{q}{m} (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \cdot \nabla_{\mathbf{v}} f = \left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_{\text{столкн.}} $$
Уравнение Власова
В условиях, когда столкновения между частицами можно пренебречь (что справедливо для горячей разреженной плазмы при больших масштабах), правая часть уравнения Больцмана обнуляется, и остаётся уравнение Власова:
$$ \frac{\partial f_s}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla_{\mathbf{r}} f_s + \frac{q_s}{m_s} (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \cdot \nabla_{\mathbf{v}} f_s = 0 $$
где индекс s обозначает сорт частиц (электроны, ионы и др.).
Функции распределения fs связаны с электромагнитными полями через уравнения Максвелла:
$$ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \quad \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} $$
$$ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0, \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} $$
с плотностью заряда:
ρ(r, t) = ∑sqs∫fs(r, v, t) d3v
и плотностью тока:
j(r, t) = ∑sqs∫vfs(r, v, t) d3v
Таким образом, система уравнений Власова–Максвелла представляет собой самосогласованное описание эволюции плазмы.
Макроскопические величины и моменты функции распределения
Для получения наблюдаемых (макроскопических) величин из кинетической функции распределения используют её моменты. Например:
ns(r, t) = ∫fs(r, v, t) d3v
$$ \mathbf{u}_s(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{n_s} \int \mathbf{v} f_s\, d^3v $$
ℙs = ms∫(v − us)(v − us)fs d3v
Средние значения и плотности энергии, импульса, давления и теплового потока выражаются через более высокие моменты fs.
Квазинейтральность и дебаевский экран
Особенностью плазмы является её стремление к квазинейтральности: на масштабах, превышающих дебаевскую длину λD, выполняется ρ ≈ 0, т.е. плотности зарядов электронов и ионов практически равны. Однако на масштабах порядка λD возможны локальные отклонения от нейтральности. Дебаевская длина:
$$ \lambda_D = \sqrt{\frac{\varepsilon_0 k_B T_e}{n_e e^2}} $$
характеризует толщину слоя экранирования электрического поля вокруг заряда в плазме.
Коллективные эффекты
В плазме важны не только столкновения, но и коллективные взаимодействия: малые возмущения могут возбуждать самосогласованные поля, вызывая, например, плазменные колебания. Простейший пример — продольные электронные колебания при неподвижных ионах. Линеаризация уравнения Власова приводит к получению дисперсионного уравнения:
$$ 1 + \frac{1}{k^2 \lambda_D^2} \left( 1 + \frac{\omega}{\sqrt{2} k v_{Te}} Z\left( \frac{\omega}{\sqrt{2} k v_{Te}} \right) \right) = 0 $$
где Z(ζ) — функция плазмы (функция Фаддеева), $v_{Te} = \sqrt{k_B T_e / m_e}$ — тепловая скорость электронов.
Коллективные процессы ответственны за явления:
Столкновения и кинетическая теория слабо и сильно ионизированных плазм
В отличие от идеального газа, в плазме взаимодействие носит дальнодействующий характер. Это приводит к логарифмической дивергенции при прямом учёте кулоновских столкновений. Введённое Ландау приближение приводит к уравнению Ландау для столкновительного члена:
$$ \left( \frac{\partial f_s}{\partial t} \right)_{\text{столкн.}} = \sum_{s'} C_{ss'}(f_s, f_{s'}) $$
где интеграл столкновений Css′ учитывает малые отклонения траекторий, обусловленные дальнодействующими силами.
В сильно ионизированных плазмах характерна малая частота столкновений, и применима власовская теория. В слабо ионизированных — важны процессы рекомбинации, ионизации, взаимодействия с нейтральным газом. Тогда необходимо использовать расширенные модели, включая столкновения с нейтральными атомами, фотоэффекты, хемореакции и т.д.
Гидродинамические приближения и замыкание
Из кинетических уравнений можно получить систему уравнений гидродинамики плазмы (уравнения переноса: непрерывности, импульса, энергии), беря соответствующие моменты. Однако их система не замкнута, так как каждый момент зависит от следующего порядка. Для замыкания используют модели:
Выбор замыкания зависит от конкретных условий: степень ионизации, плотность, масштаб явлений.
Кинетические инстабильности
Плазма может быть неустойчивой по отношению к возбуждению волн, если её функция распределения имеет наклон, способствующий передаче энергии волнам. Примеры:
Рассмотрение инстабильностей требует линейного анализа уравнения Власова и уравнений Максвелла, что приводит к условиям возникновения и росту волн.
Роль магнитного поля в кинетике плазмы
Магнитное поле существенно влияет на движение заряженных частиц, вызывая циклотронное движение с частотой:
$$ \omega_{c} = \frac{qB}{m} $$
Радиус орбиты (гирорадиус):
$$ \rho = \frac{mv_\perp}{|q|B} $$
Это приводит к анизотропии распределений по направлению вдоль и поперёк поля, важной для магнитных ловушек, токам дрейфа и волновым процессам. В магнитной ловушке кинетика описывает зеркальный захват частиц, резонансные взаимодействия с волнами, циклотроническое поглощение.
Владея кинетическим описанием, можно описывать неравновесные, анизотропные, многопоточные и волновые процессы в плазме, что невозможно в рамках чисто гидродинамического подхода.