Фридмановские решения уравнений Эйнштейна
В рамках общей теории относительности наиболее общими космологическими решениями являются однородные и изотропные метрики, описывающие расширяющуюся или сжимающуюся Вселенную. Предполагается, что в больших масштабах (порядка сотен мегапарсек) материя распределена равномерно, и метрика пространства-времени допускает симметрии однородности и изотропии. Эти допущения приводят к метрике Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (ФЛРВ).
Метрика ФЛРВ записывается в виде:
$$ ds^2 = -c^2 dt^2 + a^2(t) \left[ \frac{dr^2}{1 - k r^2} + r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2 \theta \, d\phi^2 \right) \right], $$
где:
Эта метрика соответствует пространству постоянной кривизны и описывает вселенную, геометрически устроенную как трехмерное подпространство, эволюционирующее во времени.
Подстановка метрики ФЛРВ в уравнения Эйнштейна приводит к системе дифференциальных уравнений, известных как уравнения Фридмана. В предположении идеальной жидкости с энергоплотностью ρ и давлением p, тензор энергии-импульса имеет вид:
$$ T_{\mu\nu} = (\rho + \frac{p}{c^2}) u_\mu u_\nu + p g_{\mu\nu}, $$
где uμ — четырехскорость наблюдателя, связанного с веществом.
Получаем два независимых уравнения:
$$ \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{k c^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}, $$
$$ \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3} \left( \rho + \frac{3p}{c^2} \right) + \frac{\Lambda c^2}{3}, $$
где:
Из уравнения ковариантной дивергенции тензора энергии-импульса ∇μTμν = 0 следует уравнение непрерывности:
$$ \dot{\rho} + 3 \frac{\dot{a}}{a} \left( \rho + \frac{p}{c^2} \right) = 0. $$
Это уравнение интерпретируется как закон сохранения энергии в расширяющейся Вселенной.
Для вещества с пренебрежимо малым давлением p = 0:
ρ ∝ a−3.
Масса в единице объема убывает обратно пропорционально кубу масштабного фактора.
Для релятивистского газа $p = \frac{1}{3} \rho c^2$:
ρ ∝ a−4.
Появляется дополнительный множитель a−1 по сравнению с пылью, обусловленный красным смещением энергии фотонов.
Если ρ = const, p = −ρc2, то уравнение состояния:
$$ w = \frac{p}{\rho c^2} = -1. $$
Такая компонента вызывает ускоренное расширение Вселенной.
Уравнение Фридмана:
$$ \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho_0 a^{-3}, $$
даёт решение:
a(t) ∝ t2/3.
a(t) ∝ t1/2.
Если ρ = const, p = −ρc2, то из уравнений Фридмана следует:
$$ a(t) \propto e^{Ht}, \quad H = \sqrt{\frac{\Lambda c^2}{3}}. $$
Это модель экспоненциального инфляционного расширения.
Кривизна пространства (значение k) играет ключевую роль в определении глобальной геометрии и судьбы Вселенной.
Однако наличие космологической постоянной радикально меняет картину: даже при k = +1 Вселенная может расширяться вечно при достаточно большой Λ.
Вводится ряд безразмерных параметров, характеризующих эволюцию Вселенной:
$$ H(t) = \frac{\dot{a}}{a}. $$
$$ \rho_c = \frac{3H^2}{8\pi G}. $$
$$ \Omega_m = \frac{\rho_m}{\rho_c}, \quad \Omega_\Lambda = \frac{\rho_\Lambda}{\rho_c}, \quad \Omega_k = 1 - \Omega_m - \Omega_\Lambda. $$
Современные наблюдения (в том числе из космического микроволнового фона) указывают на:
Ωm ≈ 0.3, ΩΛ ≈ 0.7, Ωk ≈ 0,
что соответствует ускоренно расширяющейся плоской Вселенной.
Космологическое красное смещение определяется как:
$$ 1 + z = \frac{a(t_0)}{a(t_e)}, $$
где t0 — время наблюдения, te — время испускания сигнала.
Различают несколько типов расстояний:
Связь между ними зависит от кривизны и масштабного фактора, и играет важную роль в интерпретации наблюдательных данных (например, сверхновых Ia, барионных осцилляций и др.).
Для объяснения ряда проблем стандартной космологии (горизонтальной, плоскостности и др.) была предложена инфляционная модель, предполагающая экспоненциальное расширение на ранней стадии:
a(t) ∝ eHt, H = const.
Это соответствует доминированию вакуумной энергии (или скалярного поля) с уравнением состояния w ≈ −1. Инфляция объясняет:
Решения уравнений Фридмана предсказывают начальную космологическую сингулярность при a(t) → 0, где плотность, температура и кривизна стремятся к бесконечности. Это соответствует моменту Большого взрыва. Современные теории пытаются описать физику вблизи этой сингулярности с помощью квантовой гравитации (например, петлевой квантовой гравитации или струнных моделей).
Космология переходит в область прецизионной науки. Наблюдения космического микроволнового фона (миссия Planck), сверхновых Ia, крупномасштабной структуры, гравитационных волн и линзирования позволяют точно измерять параметры уравнений Фридмана. Эти данные подтверждают:
Таким образом, космологические решения уравнений Эйнштейна в сочетании с наблюдательной космологией дают целостную картину эволюции и структуры Вселенной от ранних эпох до настоящего.