Космология и расширяющаяся Вселенная

Фридмановские модели и расширение пространства

Рассмотрим изотропную и однородную Вселенную, геометрия которой описывается метрикой Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (ФЛРУ). Такая метрика учитывает возможную кривизну пространства и наличие космологического масштаба:

$$ ds^2 = -c^2 dt^2 + a^2(t)\left[\frac{dr^2}{1 - k r^2} + r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta\, d\phi^2)\right], $$

где a(t) — масштабный множитель, k — параметр кривизны (k = 0 — плоская Вселенная, k = 1 — замкнутая, k = −1 — открытая).

Уравнения Фридмана

Полевая теория гравитации в общей теории относительности (ОТО) задается уравнениями Эйнштейна. В предположении однородного распределения материи, уравнения сводятся к двум основным космологическим уравнениям — уравнениям Фридмана:

1. Первое уравнение Фридмана (динамика расширения):

$$ \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}, $$

где ρ — средняя плотность вещества, Λ — космологическая постоянная.

2. Второе уравнение Фридмана (ускорение):

$$ \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^2} \right) + \frac{\Lambda c^2}{3}, $$

где p — давление.

Из первого уравнения ясно, что скорость расширения определяется балансом плотности энергии, кривизны и космологической постоянной.

Энергетическое уравнение и критическая плотность

Перепишем первое уравнение Фридмана в энергетической форме, выделив «эффективную энергию» и «кинетику»:

$$ \frac{1}{2} \dot{a}^2 - \frac{4\pi G}{3}\rho a^2 - \frac{\Lambda c^2 a^2}{6} = -\frac{kc^2}{2}. $$

Это выражение аналогично уравнению сохранения энергии для точки, движущейся в потенциальном поле.

Критическая плотность:

$$ \rho_{\text{crit}} = \frac{3 H^2}{8\pi G}, $$

где $H = \frac{\dot{a}}{a}$ — параметр Хаббла.

Определим безразмерную плотность:

$$ \Omega = \frac{\rho}{\rho_{\text{crit}}}, \quad \Omega_\Lambda = \frac{\Lambda c^2}{3 H^2}, \quad \Omega_k = -\frac{kc^2}{a^2 H^2}. $$

Тогда:

Ω + Ω_Λ + Ω_k = 1.

Это соотношение определяет геометрию и судьбу Вселенной.

Стадии расширения Вселенной

Расширение Вселенной проходит через разные эволюционные стадии, каждая из которых доминируется определённой формой энергии.

• Эра излучения: $p = \frac{1}{3} \rho c^2$, a(t) ∝ t^1/2, ρ ∝ a⁻⁴.
• Эра вещества (пыль): p ≈ 0, a(t) ∝ t^2/3, ρ ∝ a⁻³.
• Эра тёмной энергии (доминация Λ): a(t) ∝ e^Ht, ρ = const.

Переход от излучения к материи происходит на красном смещении z ∼ 3400, а переход к доминированию тёмной энергии — на z ∼ 0.3.

Космологический красный сдвиг

Расширение пространства вызывает растяжение длины волны фотонов:

$$ 1 + z = \frac{a(t_0)}{a(t_\text{эм})}, $$

где t₀ — настоящее время, t_эм — момент излучения.

Это приводит к потере энергии фотонов, наблюдаемой как красное смещение, и является прямым следствием метрического расширения.

Горизонт событий и каузальные структуры

Из-за конечной скорости света и расширения пространства существует каузальный горизонт — область, с которой возможно было установить причинную связь:

• Горизонт частиц — максимально удалённая область, откуда свет мог достичь наблюдателя.
• Горизонт событий — граница, за которую свет, испущенный сейчас, никогда не достигнет наблюдателя.

Появление горизонтов — следствие изменения темпа расширения с течением времени. Их анализ имеет ключевое значение при построении инфляционных моделей.

Проблемы классической космологии

Несмотря на успех стандартной модели, в ней возникают концептуальные трудности:

• Проблема плоскостности: почему Ω близка к 1?
• Проблема горизонта: почему температура космического микроволнового фона одинакова в разных направлениях, несмотря на причинную несвязанность областей?
• Проблема монополей: почему не наблюдаются магнитные монополи, предсказанные теориями великого объединения?

Эти проблемы стимулировали развитие инфляционной теории.

Инфляционная стадия

Инфляция — гипотетический период экспоненциального расширения Вселенной в ранний момент времени (примерно 10⁻³⁶–10⁻³² с). Это расширение решает вышеупомянутые проблемы:

• разглаживает кривизну (решает проблему плоскостности),
• выносит причинно связанные области за пределы горизонта (решает проблему горизонта),
• разбавляет плотность реликтовых объектов, включая монополи.

Инфляция может быть реализована за счёт скалярного поля — инфлатона, с потенциалом V(ϕ), медленно спускающегося с «пологого» плато.

Наблюдательные параметры расширяющейся Вселенной

Параметр Хаббла определяется как:

$$ H(t) = \frac{\dot{a}}{a}. $$

Для современного времени H₀, согласно данным Планка (2018), составляет:

H₀ ≈ 67.4 ± 0.5 км/с/Мпк,

однако местные измерения дают более высокие значения (H₀ ∼ 73), что приводит к напряжению Хаббла — серьёзному вызову для современной космологии.

Космологическое ускорение подтверждается наблюдением сверхновых Ia типа, а также анализом барионных акустических осцилляций (BAO) и космического микроволнового фона (CMB). Доминирование тёмной энергии подтверждается плотностью:

Ω_Λ ≈ 0.68,  Ω_m ≈ 0.31,  Ω_r ≪ 1.

Будущее Вселенной

Судьба Вселенной зависит от соотношения между плотностями различных компонентов и формой энергии тёмной энергии:

• Если Λ > 0 и постоянна — Вселенная расширяется ускоренно вечно.
• Если Λ = 0, но Ω_m > 1 — возможен гравитационный коллапс.
• Если Λ нестабильна или возникает поле с w < −1 (фантомная энергия) — возможно большое разрывание.

Эффективное уравнение состояния

Уравнение состояния компонента энергии описывается параметром $w = \frac{p}{\rho c^2}$. Типичные значения:

• Излучение: $w = \frac{1}{3}$,
• Материя (пыль): w = 0,
• Тёмная энергия: w ≈ −1,
• Фантомная энергия: w < −1.

Равновесие между плотностью материи и отрицательным давлением тёмной энергии определяет динамику ускорения.

Модели тёмной энергии и модифицированная гравитация

Альтернативы космологической постоянной включают:

• динамизированные скалярные поля (квинтэссенция),
• модифицированные теории гравитации (f(R)-гравитация, теории Хорвды и др.),
• экзотические флюиды (Chaplygin gas).

Они вводятся для объяснения ускоренного расширения без введения тонко настроенной постоянной Λ.

Космология в рамках квантовой гравитации

Вблизи сингулярности классические уравнения теряют применимость. Здесь необходим переход к квантовому описанию:

• петлевая квантовая гравитация предсказывает отскок вместо сингулярности,
• теория струн предполагает пре-геометрическую стадию с компактными измерениями,
• квантовая космология (например, уравнение Уилера–ДеВитта) вводит описание Вселенной в пространстве всех метрик.

Развитие этих моделей направлено на формирование полной картины эволюции Вселенной от квантовой фазы до наблюдаемой макроскопической стадии.