Квантовая электродинамика

Основные положения квантовой электродинамики

Квантовая электродинамика (КЭД) — это релятивистская квантовая теория взаимодействия заряжённых частиц и электромагнитного поля. Она представляет собой калибровочную квантовую теорию поля с калибровочной группой U(1), где основными элементами являются фермионы (например, электроны и позитроны) и бозон-переносчик взаимодействия — фотон. Все наблюдаемые эффекты, такие как рассеяние, аннигиляция, излучение и поглощение фотонов, описываются в рамках лагранжиана КЭД, основанного на принципе локальной калибровочной инвариантности.

Лагранжиан КЭД

Фундаментальный лагранжиан квантовой электродинамики имеет вид:

$$ \mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi - \frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} $$

где:

ψ — поле Дирака, описывающее электрон или позитрон,
m — масса электрона,
γ^μ — матрицы Дирака,
D_μ = ∂_μ + ieA_μ — ковариантная производная, обеспечивающая калибровочную инвариантность,
A_μ — четырёхпотенциал электромагнитного поля,
F^μν = ∂^μA^ν − ∂^νA^μ — тензор электромагнитного поля.

Первая часть лагранжиана описывает взаимодействие электрона с электромагнитным полем, вторая — динамику самого электромагнитного поля.

Калибровочная инвариантность

КЭД построена на основе локальной U(1)-калибровочной симметрии. Требование инвариантности лагранжиана относительно преобразования:

$$ \psi(x) \rightarrow e^{i\alpha(x)} \psi(x), \quad A_\mu(x) \rightarrow A_\mu(x) - \frac{1}{e} \partial_\mu \alpha(x) $$

гарантирует сохранение электрического заряда и необходимость включения взаимодействия через ковариантную производную. Эта симметрия является основой сохранения тока:

∂_μj^μ = 0, j^μ = ψ̄γ^μψ

и лежит в фундаменте всех калибровочных теорий поля.

Квантование поля и виртуальные фотоны

Поле A_μ квантуется в рамках метода вторичного квантования. В результате кванты поля A_μ — фотоны — рассматриваются как бозоны с нулевой массой и спином 1. Они могут быть как реальными (при испускании/поглощении), так и виртуальными (при передаче взаимодействия).

При квантовании необходимо наложение условий на устранение лишних степеней свободы, что достигается введением калибровки. Чаще всего используется лагранжиан с добавлением калибровочного члена в форме Фаддеева-Попова или лагранжиан в калибровке Лоренца:

$$ \mathcal{L}_\text{gauge} = -\frac{1}{2\xi} (\partial_\mu A^\mu)^2 $$

где ξ — параметр калибровки.

Фейнмановские правила и диаграммы

Для вычисления вероятностей взаимодействий в КЭД используется техника диаграмм Фейнмана. Каждая диаграмма соответствует члену разложения по теории возмущений.

Базовые элементы:

Пропагатор фермиона (электрона):

$$ S_F(p) = \frac{i(\gamma^\mu p_\mu + m)}{p^2 - m^2 + i\varepsilon} $$

Пропагатор фотона (в калибровке Лоренца):

$$ D_{\mu\nu}(k) = \frac{-ig_{\mu\nu}}{k^2 + i\varepsilon} $$

Вершина взаимодействия:

−ieγ^μ

Диаграммы Фейнмана позволяют систематически учитывать вклады различных порядков теории возмущений. Каждый внутренний фотон соответствует виртуальному обмену, определяющему перенос электромагнитного взаимодействия.

Ренормировка

КЭД — ренормируемая теория. Несмотря на появление ультрафиолетовых расходимостей в петлевых диаграммах, все физически наблюдаемые величины могут быть приведены к конечным значениям путём введения контрчленов и ренормированных параметров:

ренормированная масса m_R,
ренормированный заряд e_R,
ренормированная волновая функция поля.

Стандартные методы ренормировки — это минимальная субтракция (MS), схема Готтфрида-Ландау, метод отбрасывания расходимостей и др.

Ключевые эффекты, описываемые в рамках ренормировки:

аномальный магнитный момент электрона, связанный с вкладами высших порядков;
сдвиг Лэмба — тонкое смещение энергетических уровней водородоподобных атомов;
перенормировка заряда — явление “экранирования” заряда на больших расстояниях.

Связь с экспериментом и точность

КЭД демонстрирует исключительно высокую степень соответствия эксперименту. Примером служит теоретическое предсказание аномального магнитного момента электрона:

$$ a_e = \frac{g - 2}{2} = \frac{\alpha}{2\pi} + \cdots $$

где $\alpha \approx \frac{1}{137}$ — постоянная тонкой структуры.

Точность совпадения теоретического значения a_e с экспериментом достигает 12 знаков после запятой. Это делает КЭД одной из наиболее проверенных теорий в физике.

Вычисления в КЭД: пример рассеяния

Рассмотрим элементарный процесс рассеяния электронов — диаграмма Минковского для процесса Брейт–Уилера. Амплитуда на уровне первого порядка теории возмущений:

$$ \mathcal{M} = \bar{u}(p')(-ie\gamma^\mu)u(p)\cdot \frac{-ig_{\mu\nu}}{(p - p')^2} \cdot \bar{u}(k')(-ie\gamma^\nu)u(k) $$

Где:

u(p), ū(p′) — спиноры входящего и выходящего электрона,
(p − p′)² — квадрат передаваемого четырёхимпульса.

Из амплитуды извлекается вероятность процесса путём вычисления |ℳ|² и последующего усреднения по начальным и суммирования по конечным спиновым состояниям.

Эффекты радиационных поправок

На уровне двух и более петель возникают радиационные поправки — вклады диаграмм, содержащих петли, которые включают:

самоэнергия фермиона, вносящая коррекцию в массу и нормировку поля;
вставка поляризации вакуума — экранирование заряда;
вершинная поправка — коррекция к вершине γ^μ.

Суммарный эффект этих диаграмм чрезвычайно важен для точного предсказания наблюдаемых величин.

КЭД как предельный случай более общей теории

Квантовая электродинамика является частным случаем более общей теории — Стандартной модели. В рамках этой модели КЭД входит как U(1) компонент калибровочной группы SU(3)×SU(2)×U(1). При энергиях, гораздо меньших масштаба электрослабого объединения, КЭД выделяется как эффективная теория взаимодействия заряжённых лептонов с электромагнитным полем, а слабые и сильные взаимодействия становятся подавленными.

Ультрафиолетовое и инфракрасное поведение

КЭД обладает хорошо контролируемым ультрафиолетовым поведением благодаря ренормируемости. Однако возникают также инфракрасные расходимости, связанные с нулевой массой фотона. Эти расходимости компенсируются при учёте несобственно разрешённых состояний — когда в реальных экспериментах не удаётся отличить процессы с испусканием одного или нескольких мягких фотонов.

Метод Блох–Нордзека и теорема Куллен–Леви позволяют строго учитывать эти эффекты и обеспечивать конечные физические предсказания.

Формализм операторного произведения и операторные методы

Для описания поведения наблюдаемых на малых расстояниях применяется формализм операторного разложения по кратным произведениям (Operator Product Expansion, OPE). Это позволяет анализировать асимптотическое поведение корреляционных функций и извлекать информацию о структуре поля и взаимодействий при высоких энергиях.

Также в рамках КЭД широко используется представление математических функционалов и интегралов по траекториям в формализме Фейнмана, что позволяет обобщать методы к нелинейным калибровочным теориям.

Символическая роль КЭД в физике

Квантовая электродинамика сыграла историческую и методологическую роль в развитии всей квантовой теории поля. Она стала первой теорией, где были полностью разработаны и применены:

методы регуляризации и ренормировки,
фейнмановский формализм,
теоремы сохранения на основе симметрий,
точные численные сопоставления с экспериментом.

Её структура послужила моделью для всех последующих калибровочных теорий: квантовой хромодинамики, электрослабой теории и более общих моделей за пределами Стандартной модели.