Квантовая информация

Квантовая система как носитель информации

В классической теории информации бит является основной единицей информации и может принимать два значения: 0 или 1. В квантовой теории информации основным элементом является кубит — квантовый аналог бита. Кубит реализуется на основе двухуровневой квантовой системы, описываемой вектором состояния в двумерном гильбертовом пространстве:

|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩,  где  α, β ∈ ℂ,  |α|2+|β|2 = 1.

Таким образом, в отличие от классического бита, кубит может находиться в суперпозиции состояний, что является одним из ключевых свойств квантовой информации.

Измерение и коллапс состояния

Измерение кубита приводит к коллапсу его волновой функции: система с вероятностью |α|2 переходит в состояние |0⟩, а с вероятностью |β|2 — в состояние |1⟩. Этот процесс фундаментально стохастический и необратим. После измерения информация о фазовых соотношениях между амплитудами теряется.

Принцип неопределенности и невозможность клонирования

Одним из глубинных следствий квантовой природы информации является принцип неопределенности, ограничивающий точность одновременного знания несовместимых наблюдаемых. Прямым следствием является теорема о запрете клонирования (no-cloning theorem), утверждающая невозможность создания точной копии произвольного неизвестного квантового состояния. Формально:

Пусть существует унитарный оператор U, такой что:

U|ψ⟩|0⟩ = |ψ⟩|ψ⟩  для всех |ψ⟩.

Тогда из линейности квантовой механики следует противоречие, следовательно, такой U не существует.

Квантовая запутанность

Запутанность (энтэнглмент) — это специфическая корреляция между подсистемами составной квантовой системы, не имеющая аналогов в классической физике. Пример двухкубитного запутанного состояния (состояние Белла):

$$ |\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|00\rangle + |11\rangle). $$

Это состояние неразложимо в тензорное произведение состояний отдельных кубитов и демонстрирует нелокальные корреляции, проверяемые, например, через неравенства Белла.

Запутанность является важнейшим ресурсом квантовой информации, используемым в задачах телепортации, квантовой криптографии и вычислений.

Квантовая телепортация

Квантовая телепортация позволяет передавать произвольное квантовое состояние с одного объекта на другой, используя запутанность и классический канал. Основные этапы:

  1. Два участника (Алиса и Боб) разделяют пару запутанных кубитов.
  2. Алиса измеряет свой кубит вместе с передаваемым в базисе Белла.
  3. Результат измерения (2 классических бита) отправляется Бобу.
  4. Боб применяет соответствующую унитарную операцию и восстанавливает исходное состояние.

Телепортация не нарушает причинность, так как передача требует классического канала.

Квантовая криптография

Квантовая криптография использует фундаментальные принципы квантовой механики для обеспечения абсолютной безопасности связи. Наиболее известный протокол — BB84, предложенный Чарльзом Беннетом и Жилом Брассаром в 1984 году. Он основывается на следующих положениях:

  • Используются четыре состояния фотонов в двух взаимно несовместимых базисах (прямой и диагональный).
  • Из-за невозможности точного измерения без разрушения состояния, любая попытка перехвата (например, методом «измерь и передай») обязательно оставляет след в виде ошибок в ключе.
  • После передачи выполняется сравнение базисов, отбрасывание несовпадающих, оценка ошибок и усиление конфиденциальности.

Протоколы квантовой криптографии гарантируют детектируемость любого вмешательства.

Квантовая запоминающая способность и квантовые каналы

Квантовый канал представляет собой отображение, описывающее эволюцию квантового состояния с учётом возможного взаимодействия с окружающей средой. Квантовые каналы формализуются через полностью положительные трассосохраняющие отображения (CPTP-операторы). Примеры:

  • Канал деполяризации: замена состояния на смешанное с вероятностью p.
  • Канал амплитудного затухания: моделирует спонтанное испускание фотона.

Важнейшими характеристиками каналов являются:

  • Квантовая пропускная способность — максимальное количество квантовой информации, передаваемой через канал.
  • Классическая пропускная способность — максимальное количество классической информации, передаваемой с использованием квантовых состояний.

Энтропийные меры квантовой информации

В квантовой теории информации роль энтропии Шеннона играет энтропия фон Неймана, определяемая для квантового состояния с плотностным оператором ρ как:

S(ρ) = −Tr (ρlog ρ).

Энтропия фон Неймана характеризует степень смешанности состояния. Для чистого состояния S(ρ) = 0, для полностью смешанного S(ρ) = log d, где d — размерность гильбертова пространства.

Другие важные информационные величины:

  • Взаимная квантовая информация:

    I(A : B) = S(ρA) + S(ρB) − S(ρAB),

    характеризует взаимозависимость подсистем A и B.

  • Квантовая относительная энтропия:

    S(ρ||σ) = Tr (ρlog ρ − ρlog σ),

    измеряет “расстояние” между состояниями ρ и σ.

Квантовые вычисления и алгоритмы

Квантовые вычисления основаны на унитарной эволюции кубитов и измерениях. Основные элементы:

  • Квантовые вентили: аналоги логических элементов, реализуют унитарные преобразования (Hadamard, CNOT, Pauli, Toffoli и др.).
  • Квантовые алгоритмы: демонстрируют преимущества по сравнению с классическими.

Ключевые примеры:

  • Алгоритм Шора: полиномиальное разложение на множители целого числа, лежащее в основе многих криптосистем. Использует квантовое преобразование Фурье.
  • Алгоритм Гровера: ускоренный поиск по неструктурированной базе данных, требующий $O(\sqrt{N})$ операций вместо O(N) классически.

Квантовая коррекция ошибок

Из-за хрупкости квантовых состояний разработана теория квантовой коррекции ошибок, обеспечивающая устойчивость квантовой информации. Основной принцип: за счёт запутанности нескольких кубитов можно детектировать и исправлять ошибки, не нарушая целостности квантового состояния.

Пример — код Шора, использующий 9 кубитов для кодирования одного логического кубита, исправляя произвольную одиночную ошибку. Другие коды: код Стила, коды Калдербэнка-Шора-Стима (CSS), поверхностные коды.

Связь с фундаментальными принципами квантовой механики

Квантовая информация по своей сути воплощает фундаментальные черты квантовой механики: суперпозицию, интерференцию, запутанность, измерение и необратимость. Природа информации здесь неотделима от физической реализации: информация и физика слиты в единое целое, что проявляется, в частности, в принципе Ландауэра, утверждающем, что стирание одного бита информации сопровождается выделением энергии kTln 2.

Современная квантовая теория информации становится не только инструментом, но и основой для новой парадигмы физики — описания физических процессов через призму передачи, обработки и преобразования информации в квантовом мире.

Оглавление