Квантовая статистика

Основные принципы квантовой статистики

Квантовая статистика возникает как необходимое обобщение классической статистической механики для описания систем, в которых частицы подчиняются законам квантовой механики. В отличие от классических частиц, квантовые частицы неразличимы и подчиняются принципу тождественности, что приводит к коренным изменениям в распределении по состояниям и макроскопическим свойствам вещества при низких температурах или высокой плотности.

Различие между фермионами и бозонами

Квантовые частицы делятся на два фундаментальных класса:

Фермионы — частицы с полуцелым спином (например, электроны, протоны, нейтроны), подчиняющиеся принципу запрета Паули, согласно которому не может быть двух фермионов в одном и том же квантовом состоянии.
Бозоны — частицы с целым спином (например, фотоны, кванты колебаний решетки – фононы, атомы гелия-4), которые могут находиться в одном квантовом состоянии в сколь угодно большом числе.

Это различие определяет форму распределений, описывающих поведение этих частиц в термодинамическом равновесии.

Обобщение распределений: распределения Ферми – Дирака и Бозе – Эйнштейна

Для систем в состоянии термодинамического равновесия применяются два фундаментальных распределения:

Распределение Ферми – Дирака (для фермионов):

$$ \bar{n}_i = \frac{1}{e^{(\varepsilon_i - \mu)/kT} + 1} $$

Распределение Бозе – Эйнштейна (для бозонов):

$$ \bar{n}_i = \frac{1}{e^{(\varepsilon_i - \mu)/kT} - 1} $$

где n̄_i — среднее число частиц в i-м состоянии, ε_i — энергия соответствующего квантового состояния, μ — химический потенциал, k — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура.

Для сравнения, в классической статистике (распределение Максвелла – Больцмана):

$$ \bar{n}_i = \frac{1}{Z} e^{-(\varepsilon_i - \mu)/kT} $$

где Z — классическая статистическая сумма.

Происхождение квантовых распределений

Поскольку квантовые частицы неразличимы, состояние системы задаётся не набором индивидуальных координат частиц, а их совокупным распределением по доступным квантовым состояниям. В рамках великого канонического ансамбля, где система может обмениваться как энергией, так и частицами с резервуаром, вероятность нахождения n_i частиц в i-м квантовом состоянии определяется статистическими весами с учетом квантовых ограничений:

для фермионов: n_i = 0 или 1,
для бозонов: n_i = 0, 1, 2, …

Максимизация энтропии при заданных средних энергиях и числе частиц с учетом этих ограничений и приводит к указанным выше формулам распределения.

Физические последствия: вырождение и квантовые эффекты

При высоких температурах или низких плотностях квантовые распределения переходят в классическое распределение Больцмана. Однако при уменьшении температуры (или увеличении плотности) наблюдаются характерные квантовые эффекты вырождения.

Для ферми-газов при температуре T ≪ T_F (температура Ферми) все состояния до уровня Ферми ε_F заняты, а выше — почти пусты. Это проявляется, например, в устойчивости электронного газа в металле.
Для бозе-газов при T < T_c (критической температуре) значительное число частиц конденсируется в основное квантовое состояние. Это явление носит название Бозе – Эйнштейновской конденсации.

Идеальный ферми-газ: свойства и поведение при низких температурах

Идеальный ферми-газ — модель системы невзаимодействующих фермионов. Его поведение определяется температурой Ферми T_F = ε_F/k, где ε_F — энергия Ферми, связанная с концентрацией частиц n:

$$ \varepsilon_F = \frac{\hbar^2}{2m} \left( 3\pi^2 n \right)^{2/3} $$

При T ≪ T_F вклад температурных возбуждений в энергию и давление невелик. Средняя энергия на частицу:

$$ \langle \varepsilon \rangle \approx \frac{3}{5} \varepsilon_F + \frac{\pi^2}{4} \frac{k^2 T^2}{\varepsilon_F} $$

Давление:

$$ P = \frac{2}{5} n \varepsilon_F + \frac{\pi^2}{6} \frac{n k^2 T^2}{\varepsilon_F} $$

Важное физическое следствие — нулевая температура не означает нулевое давление, так как присутствует вырожденное давление, обусловленное заполнением квантовых состояний до уровня Ферми.

Идеальный бозе-газ и Бозе – Эйнштейновская конденсация

Рассмотрим невзаимодействующие бозоны в объеме V. Суммарное число частиц:

$$ N = \sum_i \bar{n}_i = \sum_i \frac{1}{e^{(\varepsilon_i - \mu)/kT} - 1} $$

При понижении температуры химический потенциал μ стремится к нулю (но не превышает нуля). Существует критическая температура T_c, при которой большая часть частиц «сваливается» в основное состояние:

$$ T_c = \frac{2\pi \hbar^2}{m k} \left( \frac{n}{\zeta(3/2)} \right)^{2/3} $$

где ζ — дзета-функция Римана.

Ниже T_c возникает макроскопически населённое основное состояние — квантовая фаза с особенностями в теплоемкости, плотности состояний и др. Это явление реализовано, например, в сверхтекучем гелии-4 и конденсатах ультрахолодных атомов.

Статистические суммы и функции распределения

Ключевыми количественными характеристиками являются:

Функции распределения f(ε) — среднее число частиц в состоянии с энергией ε,
Плотность состояний g(ε) — число квантовых состояний на интервал энергии,
Функции Bose и Fermi:

$$ F_{\nu}(z) = \frac{1}{\Gamma(\nu)} \int_0^{\infty} \frac{x^{\nu-1} dx}{z^{-1} e^x + 1}, \quad G_{\nu}(z) = \frac{1}{\Gamma(\nu)} \int_0^{\infty} \frac{x^{\nu-1} dx}{z^{-1} e^x - 1} $$

где F_ν относится к фермионам, G_ν — к бозонам.

В термодинамике эти функции используются для вычисления энергии, давления, энтропии, теплоемкости и других величин.

Сравнение классической и квантовой статистики

Параметр	Классическая статистика	Квантовая статистика
Частицы	различимы	неразличимы
Ограничения	нет	принцип Паули / статистика Бозе
Среднее распределение	экспоненциальное	ферми-дираковское или бозе-эйнштейновское
Поведение при низких T	плавный переход к нулю	вырождение, квантовые фазы
Конденсация	невозможна	возможна (у бозонов)

Применения и экспериментальные подтверждения

Квантовая статистика лежит в основе описания:

электронной структуры атомов и вещества,
тепловых свойств металлов и полупроводников,
свойств белых карликов и нейтронных звёзд,
сверхтекучести и сверхпроводимости,
лазеров и конденсатов Бозе – Эйнштейна.

Её предсказания находят подтверждение в экспериментах с ультрахолодными атомными системами, астрофизических наблюдениях и современных квантовых технологиях.