Рассмотрение квантовых полей на фоне классически заданной гравитации представляет собой первый шаг к пониманию квантовых эффектов в гравитационном поле. Пусть гравитационное поле описывается метрикой gμν, решение уравнений Эйнштейна, а материя представлена квантовым полем (например, скалярным).
Действие скалярного поля в искривлённом пространстве
Для свободного скалярного поля ϕ с массой m действие имеет вид:
$$ S = -\frac{1}{2} \int d^4x \, \sqrt{-g} \left( g^{\mu\nu} \partial_\mu \phi \, \partial_\nu \phi + m^2 \phi^2 + \xi R \phi^2 \right), $$
где R — скаляр кривизны, ξ — константа связи с кривизной (в частности, ξ = 1/6 — конформная инвариантность в случае безмассового поля).
Уравнение движения:
(□−m2 − ξR)ϕ = 0,
где $\Box = \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\mu \left( \sqrt{-g} \, g^{\mu\nu} \partial_\nu \right)$ — лапласиан в метрике gμν.
Создание частиц на фоне изменяющегося гравитационного поля
Одним из важнейших результатов квантовой теории поля в искривлённом пространстве является эффект рождения частиц. Пусть метрика зависит от времени (например, расширяющаяся Вселенная или гравитационный коллапс). Тогда оказывается, что вакуумное состояние на “раннем” времени не совпадает с вакуумом на “позднем” времени. Это приводит к нетривиальной связи между модами поля в разные моменты времени — преобразованию Боголюбова.
Если ukin и ukout — решения уравнений Клейна-Гордона в соответствующих асимптотических областях, то:
ukin = αkukout + βkukout*,
где коэффициенты βk отвечают за число рождённых частиц: Nk = |βk|2.
Квантовое излучение чёрных дыр: эффект Хокинга
Величайшим достижением квантовой теории поля на искривлённом фоне стало предсказание Стивена Хокинга: чёрные дыры излучают как чёрные тела с температурой
$$ T_{\text{H}} = \frac{\hbar c^3}{8 \pi G M k_B}, $$
где M — масса чёрной дыры. Это излучение Хокинга возникает в результате того же механизма несоответствия “входного” и “выходного” вакуума: квантовые флуктуации у горизонта событий приводят к образованию виртуальных пар частиц, одна из которых может покинуть чёрную дыру, а вторая — поглотиться.
Результат можно получить, проанализировав распространение скалярного поля в метрике коллапсирующего тела. Внешняя метрика — решение Шварцшильда. На поздних временах регистрируется излучение с тепловым спектром:
$$ \langle n_\omega \rangle = \frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar \omega}{k_B T_H} \right) - 1}. $$
Аномалия следа и квантовая энергия вакуума
Классическая энергия вакуума в конформной теории имеет нулевой след Tμμ = 0, но при квантовании возникает аноматическая поправка — аномалия следа:
$$ \langle T^\mu_\mu \rangle = \frac{1}{(4\pi)^2} \left( a R_{\mu\nu\rho\sigma} R^{\mu\nu\rho\sigma} + b R_{\mu\nu} R^{\mu\nu} + c \Box R + d R^2 \right). $$
Эта аномалия играет ключевую роль в космологии, формируя вакуумную энергию на фоне кривизны.
Эффект Унру: квантовый вакуум и ускорение
В плоском пространстве, даже без гравитации, наблюдаются квантовые эффекты в зависимости от выбора наблюдателя. Ускоренно движущийся наблюдатель с постоянным ускорением a регистрирует тепловой спектр частиц, даже если инерциальный наблюдатель видит вакуум. Температура:
$$ T_U = \frac{\hbar a}{2\pi c k_B}. $$
Этот эффект Унру иллюстрирует зависимость понятия «вакуума» от траектории наблюдателя.
Полуклассическая гравитация и уравнение с ожидаемым значением энергии
Полное квантование гравитации остаётся нерешённой задачей, но на первом приближении можно рассматривать уравнение Эйнштейна с квантово усреднённым тензором энергии-импульса:
$$ G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} \langle T_{\mu\nu} \rangle. $$
Такая полуклассическая гравитация позволяет учитывать обратное влияние квантовых полей на геометрию. Особенно важна в космологии ранней Вселенной, при рассмотрении инфляции и квантовых флуктуаций, дающих начало крупномасштабным структурам.
Квантовые флуктуации в инфляционной космологии
Во время инфляционного расширения Вселенной квантовые флуктуации скалярного поля (инфлатона) “замораживаются” и переходят в классические неоднородности. Их спектр можно вычислить из уравнений для возмущений на фоне де-Ситтера:
δϕk″ + 2ℋδϕk′ + k2δϕk = 0,
где ℋ — конформное расширение Хаббла. Спектр флуктуаций оказывается почти масштабно-инвариантным:
$$ \mathcal{P}_\phi(k) \sim \left( \frac{H}{2\pi} \right)^2, $$
что согласуется с наблюдениями анизотропии реликтового излучения.
Сущности, возникающие при квантовании гравитации
Переходя к полной квантовой теории гравитации, необходимо учитывать не только фоны, но и флуктуации самой метрики. Здесь возникают фундаментальные трудности:
Проблема времени: в уравнении Вилера–ДеВитта
ĤΨ[gμν] = 0,
отсутствует параметр времени — волновая функция описывает “статическое” состояние всей геометрии.
Несовместимость с пертурбативным подходом: теория гравитации не является перенормируемой в обычном смысле, из-за размерности гравитационной постоянной G.
Петлевая квантовая гравитация и суперструнная теория
В качестве кандидатов на полную квантовую теорию гравитации рассматриваются:
Петлевая квантовая гравитация — формализм, в котором состояние геометрии описывается с помощью петлевых переменных (спиновые сети). Пространство и время оказываются дискретными на фундаментальном уровне.
Струнная теория — предполагает, что все элементарные частицы — это возбуждения одномерных объектов (струн), а гравитация возникает как состояние струны (гравитон). Теория требует наличия дополнительных измерений и сверхсимметрии.
Гравитационные аномалии и топологические аспекты
Квантование теорий с гравитацией приводит к необходимости учёта антикоммутирующих полей (например, в суперсимметрии), что порождает гравитационные аномалии — нарушения симметрий классической теории в квантовой. Их наличие может быть препятствием для когерентной теории — в частности, струнная теория требует их полной компенсации.
Существенную роль играют и топологические свойства пространства-времени — например, появление квантовых эффектов при нестандартных глобальных структурах (wormholes, instantons, topology change).
Эффекты кассовой энергии и вакуумной поляризации
Даже в плоском пространстве, наложение граничных условий может приводить к изменению вакуумной энергии. Пример — эффект Казимира, наблюдаемый как сила между проводящими пластинами из-за изменения спектра нулевых колебаний поля.
На искривлённом фоне аналогичные эффекты могут приводить к поляризации вакуума и вклад в уравнение Эйнштейна, что особенно важно в контексте космологической постоянной:
Λeff = Λbare + Λvac.
При этом $\Lambda_{\text{vac}} \sim \frac{1}{L_P^2}$, что создаёт проблему космологической постоянной — несоответствие между предсказанным и наблюдаемым значением энергии вакуума.
Гравитоны как кванты возмущений метрики
В рамках линейной гравитации на плоском фоне можно определить кванты гравитационного поля — гравитоны. Это безмассовые бозоны спина 2. Их взаимодействие — универсально, так как гравитация связана с энергией всех форм материи. Попытки построить калибровочную квантовую теорию для гравитонов на фоне Minkowski сталкиваются с проблемой перенормируемости.
Тем не менее, гравитационные волны, обнаруженные LIGO и Virgo, можно рассматривать как классическое проявление этих квантов при малых амплитудах, что даёт косвенное подтверждение квантуемости поля метрики.
Квантовая гравитация и природа сингулярностей
Классическая теория гравитации предсказывает сингулярности (в чёрных дырах, в начале расширения Вселенной). Однако квантовые поправки могут “размазывать” эти особенности. Например, в петлевой квантовой космологии большой взрыв заменяется на большой отскок, а квантовые флуктуации пространства могут предотвращать образование горизонта.
Таким образом, квантовые эффекты в гравитации открывают путь к пониманию фундаментальных свойств пространства-времени, природы времени, происхождения Вселенной и микроскопической структуры геометрии.