Квантовые поправки к гравитации

Классическая теория гравитации, представленная общей теорией относительности Эйнштейна, является геометрической: гравитационное поле отождествляется с кривизной пространства-времени. Однако при рассмотрении на малых масштабах, сравнимых с планковскими, возникает необходимость учёта квантовых эффектов. Квантование гравитации — одна из центральных задач современной теоретической физики. Даже без построения полной квантовой теории гравитации возможно рассмотреть квантовые поправки к классическим гравитационным уравнениям в рамках эффективного подхода.

Рассмотрим полуклассический подход, где материя квантуется, а гравитационное поле остаётся классическим. Далее — эффективную квантовую теорию гравитации, где вычисляются поправки к классическому действию, и, наконец, особенности, возникающие в петлевых и струнах, где квантование самого метрического тензора или геометрии становится обязательным.

Полуклассическое приближение: уравнение Эйнштейна с квантовыми источниками

В рамках полуклассической гравитации уравнение Эйнштейна принимает вид:

G_μν = 8πG⟨T̂_μν⟩,

где G_μν — тензор Эйнштейна, а ⟨T̂_μν⟩ — вакуумное среднее квантового тензора энергии-импульса. Последний содержит в себе квантовые флуктуации, в том числе эффекты виртуальных частиц.

Основные эффекты:

Квантовое испарение чёрных дыр (эффект Хокинга)
Аномалии в конформной инвариантности
Квазиклассические поправки в ранней Вселенной (инфляционные модели)

Однако, несмотря на многочисленные достижения, этот подход не является самосогласованным: правые части уравнений содержат квантовые величины, тогда как гравитация остаётся классической. Это приводит к различным противоречиям, в частности к проблемам бэкреакции и стабильности решений.

Эффективная теория поля для гравитации

Чтобы получить квантовые поправки систематически, применяется эффективная теория поля (Effective Field Theory, EFT), где гравитация трактуется как низкоэнергетическое приближение некой более фундаментальной теории. Метод аналогичен теории Юкавы или квантовой электродинамике на низких энергиях.

Основным объектом здесь является эффективное действие Γ[g_μν], которое включает как классическую часть, так и квантовые поправки:

$$ \Gamma = \int d^4x \sqrt{-g} \left[ \frac{1}{16\pi G} R + \alpha R^2 + \beta R_{\mu\nu}R^{\mu\nu} + \cdots \right] + \Gamma_{\text{nonlocal}}. $$

Ключевые особенности:

Локальные поправки, содержащие квадратичные и высшие скаляры кривизны, соответствуют ультрафиолетовым (UV) коррекциям.
Нелокальные термины, такие как Rln (□/μ²)R, отвечают за инфракрасные (IR) эффекты и описывают долгопробежные квантовые флуктуации.

Универсальные следствия:

Модификации закона гравитационного притяжения на больших расстояниях (возможная альтернатива тёмной материи/энергии)
Поправки к потенциалу Ньютона:

$$ V(r) = -\frac{Gm}{r} \left(1 + \gamma \frac{G\hbar}{r^2} + \cdots \right), $$

где γ — числовой коэффициент, зависящий от спиновых степеней свободы.
Сдвиги в спектре гравитационных колебаний и гравитационных волн.

Петлевая квантовая коррекция и расходимости

В рамках квантовой теории поля гравитационное взаимодействие можно описывать с помощью петлевых диаграмм. Однако при попытке квантовать гравитацию, как любую другую теорию поля, возникает непреодолимая трудность: неперенормируемость.

Уже на двух петлях возникают ультрафиолетовые расходимости, не устранимые переопределением конечного числа параметров:

$$ \Delta \Gamma \sim \frac{1}{\epsilon} R_{\mu\nu\alpha\beta} R^{\alpha\beta\rho\sigma} R_{\rho\sigma}{}^{\mu\nu}, $$

что указывает на необходимость введения бесконечного числа параметров при квантовом описании гравитации как обычного калибровочного поля. Тем не менее, в рамках EFT это не является фатальным: теория сохраняет прогностическую силу на низких энергиях.

Влияние квантовых поправок на космологические модели

В рамках инфляционной космологии квантовые флуктуации играют фундаментальную роль. Квантовые поправки к гравитации могут изменить сценарий инфляции или дать вклад в спектр первичных возмущений:

Генерация спектра скалярных и тензорных флуктуаций
Влияние нелокальных членов на динамику расширения
Возможность самогенерации космологической постоянной

Кроме того, квантовые коррекции потенциально объясняют позднее ускоренное расширение Вселенной без введения тёмной энергии, особенно через нелокальные термины вида $R \frac{1}{\Box} R$.

Аномалии и топологические эффекты

Квантовые поправки к гравитации порождают анализ аномалий, в частности конформной аномалии, связанной с нарушением масштабной инвариантности на квантовом уровне.

Эти аномалии вносят поправки в уравнения движения и могут приводить к:

модификации гравитационного действия в двумерных и четырехмерных теориях,
появлению новых топологических членов, например, т.н. терма Понтьяжена:

∫d⁴x θ(x) ϵ^μνρσR_μναβR_ρσ^αβ,

что может оказывать влияние на динамику ранней Вселенной и спинорные поля.

Струнные и петлевые квантовые поправки

В теориях струн и петлевой квантовой гравитации структура квантовых поправок кардинально отличается:

В теории струн:

Квантовые поправки появляются как α′-поправки (разложение по длине струны) и g_s-петлевые поправки.
Эффективное гравитационное действие содержит дополнительные поля (дилатон, антисимметричные тензоры), а также высшие инварианты типа:

$$ S \sim \int d^D x \sqrt{-g} \left( R + \alpha' R^2 + \alpha'^2 R^4 + \cdots \right). $$

В петлевой квантовой гравитации:

Пространство-время квантуется напрямую через дискретные структуры (спиновые сети).
Квантовые поправки к гравитации выражаются через модификацию операторов, действующих в гильбертовом пространстве состояний гравитации.
Появляются квантовые эффекты, такие как разрешение космологических и чёрнодырных сингулярностей.

Квантовые гравитационные поправки к чёрным дырам

Классическая структура чёрной дыры (горизонт событий, сингулярность) существенно изменяется при учёте квантовых эффектов:

Испарение Хокинга: возникает как квантовая поправка на фоне чёрной дыры.
Квантовая коррекция к энтропии: стандартная формула Бекенштейна–Хокинга:

$$ S = \frac{k_B A}{4\hbar G}, $$

получает поправки вида $S = \frac{A}{4G} + \alpha \ln A + \cdots$, где логарифмический член универсален и отражает квантовые флуктуации.
Квантовая структура горизонта: возможно появление “огненной стены”, голографических состояний, или флуктуаций метрики, размывающих саму концепцию чётко определённого горизонта.

Общий подход: квантовая коррекция метрики

Рассмотрим, как квантовые поправки влияют на саму метрику пространства-времени. Пусть исходная метрика g_μν получает поправку:

g_μν → g_μν + ℏh_μν⁽¹⁾ + ℏ²h_μν⁽²⁾ + ⋯,

где h_μν⁽ⁿ⁾ определяются вариациями эффективного действия. Их структура зависит от энергетического масштаба, состояния материи, и гравитационного фона.

В задачах типа рассеяния (scattering amplitudes) квантовые поправки к метрике могут быть вычислены с высокой точностью. Использование современных методов (универсальность гравитонных амплитуд, двойственность Янга-Миллса и гравитации, BCJ-идентичности) открывает путь к пересчёту гравитационного взаимодействия как суперпозиции квантованных частиц.

Выводы из эффективной квантовой гравитации

На энергиях, значительно ниже планковских, квантовые поправки к гравитации поддаются вычислению, несмотря на неперенормируемость полной теории.
Эти поправки проявляются в изменении гравитационного потенциала, космологических уравнений, термодинамики горизонтов и поведения квантовых полей на искривлённом фоне.
Полноценное квантование гравитации требует более глубокой теоретической структуры, выходящей за пределы стандартной квантовой теории поля.

Эффективная квантовая теория гравитации служит надёжным инструментом для описания первых порядков поправок и их физических следствий.