Квазиклассическое приближение (метод ВКБ)
Квазиклассическое приближение, или метод Вентцеля–Крамерса–Бриллюэна (ВКБ), представляет собой асимптотическое разложение волновой функции в пределе малой постоянной Планка ℏ → 0. Метод позволяет описывать квантовые системы в условиях, когда квантовые эффекты слабо проявлены, а движение частицы приближается к классическому. Основная идея заключается в том, что решение уравнения Шрёдингера ищется в форме экспоненты с быстро изменяющейся фазой — так называемой фазово-интегральной форме.
Рассмотрим одномерное стационарное уравнение Шрёдингера:
$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x), $$
где V(x) — потенциальная энергия, E — энергия частицы.
Ищем решение в виде:
$$ \psi(x) = A(x) e^{\frac{i}{\hbar} S(x)}, $$
где S(x) — фазовая функция (аналог действия в классической механике), A(x) — медленно меняющаяся амплитуда.
Подставим это выражение в уравнение Шрёдингера и сгруппируем по степеням ℏ. Получается:
$$ \left(\frac{dS}{dx}\right)^2 + i\hbar \left( \frac{2}{A} \frac{dA}{dx} \frac{dS}{dx} + \frac{d^2S}{dx^2} \right) = 2m(E - V(x)). $$
Разложим по степеням ℏ и приравняем нулевому порядку:
$$ \left( \frac{dS}{dx} \right)^2 = 2m(E - V(x)). $$
Это уравнение называется уравнением Гамильтона–Якоби. Введём волновое число:
$$ p(x) = \sqrt{2m(E - V(x))}, $$
тогда:
S(x) = ±∫p(x)dx.
Соответственно, амплитуда A(x) определяется из следующего приближения:
$$ \frac{dA}{dx} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{p(x)} \frac{dp(x)}{dx} \right) A = 0, $$
что интегрируется в:
$$ A(x) = \frac{C}{\sqrt{p(x)}}. $$
Таким образом, общее приближённое решение:
$$ \psi(x) \approx \frac{C}{\sqrt{p(x)}} \exp\left( \pm \frac{i}{\hbar} \int p(x)\,dx \right). $$
В области, где E > V(x), p(x) действителен, и решение осциллирует:
$$ \psi(x) \sim \frac{1}{\sqrt{p(x)}} \left[ A e^{\frac{i}{\hbar} \int p(x)\,dx} + B e^{-\frac{i}{\hbar} \int p(x)\,dx} \right]. $$
В области, где E < V(x), подкоренное выражение становится мнимым:
$$ p(x) = i\kappa(x), \quad \kappa(x) = \sqrt{2m(V(x) - E)}, $$
и решение принимает форму:
$$ \psi(x) \sim \frac{1}{\sqrt{\kappa(x)}} \left[ C e^{-\frac{1}{\hbar} \int \kappa(x)\,dx} + D e^{\frac{1}{\hbar} \int \kappa(x)\,dx} \right], $$
что описывает туннелирование.
В точках, где E = V(x), т.е. в классических поворотных точках, p(x) = 0, и приближение ВКБ становится неосуществимым — возникают особенности. Для получения физически осмысленного решения необходимо соединить осциллирующее и экспоненциальное поведение на границе областей. Вблизи поворотной точки уравнение Шрёдингера можно линеаризовать и выразить его решение через функции Эйри. Используя асимптотики функции Эйри, получают соединительные формулы:
Если x = x0 — поворотная точка, и x < x0 — область туннелирования, x > x0 — область осцилляций, то:
$$ \psi(x) \sim \begin{cases} \frac{D}{\sqrt{\kappa(x)}} \exp\left( - \frac{1}{\hbar} \int_x^{x_0} \kappa(x') dx' \right), & x < x_0, \\ \frac{2D}{\sqrt{p(x)}} \cos\left( \frac{1}{\hbar} \int_{x_0}^x p(x') dx' - \frac{\pi}{4} \right), & x > x_0. \end{cases} $$
Рассмотрим потенциальную яму с двумя поворотными точками x1 и x2. В этом случае накладываем условие одномерного квантования Бора–Зоммерфельда:
$$ \int_{x_1}^{x_2} p(x)\,dx = \left( n + \frac{1}{2} \right)\pi \hbar, \quad n = 0,1,2,\dots $$
Это условие позволяет найти приближённые уровни энергии в системе с замкнутыми орбитами. Оно также следует из требования однозначности волновой функции и интерференции волн, отражающихся от границ классически разрешённой области.
Квазиклассическое приближение даёт количественное описание туннелирования. Пусть V(x) > E на участке x ∈ [x1, x2], тогда вероятность прохождения сквозь потенциальный барьер выражается как:
$$ T \sim \exp\left( -\frac{2}{\hbar} \int_{x_1}^{x_2} \kappa(x) dx \right), $$
где $\kappa(x) = \sqrt{2m(V(x) - E)}$ — мнимая часть волнового числа в запрещённой области.
Это выражение применимо к таким явлениям, как туннелирование в эффекте Зенера, радиоактивный распад альфа-частиц (модель Гамова), эффект Джозефсона и другие.
Для многомерных систем основной идеей остаётся та же — представление волновой функции в фазово-интегральной форме. При этом действие S(r) должно удовлетворять многомерному уравнению Гамильтона–Якоби:
(∇S)2 = 2m(E − V(r)).
Амплитуда A(r) находится из уравнения сохранения тока:
∇ ⋅ (A2∇S) = 0.
Для замкнутых орбит применяется обобщённое правило квантования Бора–Зоммерфельда:
$$ \oint p_i\,dq_i = 2\pi\hbar\left(n_i + \frac{\mu_i}{4}\right), $$
где μi — индекс Маслова, учитывающий количество поворотных точек и их характер.
Метод ВКБ имеет важное значение в различных разделах теоретической физики: атомной, молекулярной, ядерной, физике твердого тела, космологии. Он даёт простые, наглядные интерпретации спектров, условий резонанса, вероятностей переходов и распадов. Однако его применение ограничено областями, где функция p(x) медленно меняется, а ℏ считается малой величиной. Вблизи точек разветвления, пересечений уровней и для сильно квантовых состояний квазиклассическое приближение теряет применимость, и требуется полное решение уравнения Шрёдингера.