Основные уравнения магнитогидродинамики
Магнитогидродинамика (МГД) описывает поведение проводящей жидкости (или плазмы) в присутствии магнитного поля. Основой МГД служит система уравнений, включающая уравнения гидродинамики, электродинамики и термодинамики, согласованно описывающих взаимодействие магнитного поля и движущейся среды.
Основными переменными МГД являются: массовая плотность ρ, скорость жидкости v, давление p, магнитное поле B, плотность тока j, электрическое поле E, а также температура T.
МГД уравнения состоят из следующих компонентов:
$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 $$
$$ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \mathbf{j} \times \mathbf{B} + \rho \mathbf{g} + \mathbf{F}_{\text{вязк}} $$
где член j × B представляет собой силу Лоренца, действующую на единичный объём проводящей среды, g — ускорение свободного падения, Fвязк — вязкие силы.
$$ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) - \nabla \times \left( \eta \nabla \times \mathbf{B} \right) $$
где $\eta = \frac{1}{\mu_0 \sigma}$ — магнитная диффузивность среды, σ — электрическая проводимость.
∇ ⋅ B = 0
Это фундаментальное ограничение накладывает структуру на допустимые конфигурации магнитного поля и является результатом отсутствия магнитных монополей.
В зависимости от модели, используется либо изотермическое, либо адиабатическое уравнение состояния. Для идеального газа:
$$ p = \rho \frac{k_B T}{m} = (\gamma - 1) \rho \varepsilon $$
где γ — показатель адиабаты, ε — внутренняя энергия на единицу массы.
Параметры, характеризующие магнитогидродинамический режим
$$ \text{Re} = \frac{v L}{\nu} $$
характеризует соотношение между инерционными и вязкими силами.
$$ \text{Rm} = \frac{v L}{\eta} $$
показывает соотношение между индуцированием магнитного поля и его диффузией. При Rm ≫ 1 магнитное поле “заморожено” в плазму.
$$ \text{Pm} = \frac{\nu}{\eta} = \frac{\text{Rm}}{\text{Re}} $$
Приближение идеальной МГД
Если проводимость среды бесконечно велика (σ → ∞, следовательно, η → 0), магнитное поле “вморожено” в вещество, и уравнение индукции принимает вид:
$$ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) $$
В этом приближении магнитные силовые линии движутся вместе с плазмой. Это приводит к ключевому результату — топология магнитного поля сохраняется во времени, если нет рекомбинации или диссипации.
Сила Лоренца и уравнение движения
Сила Лоренца на единицу объема:
fL = j × B
С использованием уравнения Максвелла:
$$ \mathbf{j} = \frac{1}{\mu_0} \nabla \times \mathbf{B} $$
Можно переписать силу Лоренца как:
$$ \mathbf{f}_L = \frac{1}{\mu_0} (\nabla \times \mathbf{B}) \times \mathbf{B} $$
Эту силу можно разложить на две составляющие: градиент магнитного давления и магнитное натяжение. Это дает возможность переосмыслить магнитное поле как аналог упругой среды с напряжениями.
Энергетические соотношения в МГД
Плотность магнитной энергии:
$$ w_B = \frac{B^2}{2\mu_0} $$
Плотность потока энергии (вектор Пойнтинга):
$$ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) = \frac{1}{\mu_0} [ -\mathbf{v} \times \mathbf{B} ] \times \mathbf{B} $$
В приближении идеальной МГД:
$$ \mathbf{S} = \frac{B^2 \mathbf{v} - (\mathbf{B} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{B}}{\mu_0} $$
Эти выражения позволяют анализировать энергетические потоки и трансформацию энергии между кинетической, внутренней и магнитной формами.
Магнитные волны в МГД
Существует несколько типов волн в магнитогидродинамике:
$$ v_A = \frac{B}{\sqrt{\mu_0 \rho}} $$
МГД-звуковые волны (магнитозвуковые) Продольные волны давления, аналог обычных звуковых волн, модифицированные наличием магнитного поля. Существует две ветви — медленные и быстрые магнитозвуковые волны.
МГД-волны в цилиндрических струях В важном классе задач (например, солнечные протуберанцы) необходимо учитывать структуру магнитного поля в цилиндрической геометрии. Здесь возникают устойчивые или неустойчивые моды, включая торсионные альфвénовские колебания.
Магнитное поле и устойчивость плазмы
Магнитное поле способно как стабилизировать, так и дестабилизировать поведение плазмы. Возникают различные типы неустойчивостей:
Магнитное поле может ограничивать движение заряженных частиц поперёк направления поля, тем самым подавляя поперечные токи и усиливая устойчивость.
МГД-равновесие и уравнение Града–Шафранава
Для описания равновесия в плазме, заключённой в магнитном поле, используется условие стационарного равновесия:
0 = −∇p + j × B
Это уравнение лежит в основе вывода уравнения Града–Шафранава, которое описывает равновесие токонесущей плазмы в цилиндрической геометрии, и широко используется при моделировании токамаков.
Реконекция магнитного поля
В случае конечной проводимости (η ≠ 0), магнитное поле может изменять свою топологию. Процесс реконекции (перестроения магнитных силовых линий) играет важнейшую роль в динамике вспышек на Солнце, выбросов корональной массы и магнитных бурях.
Скорость реконекции зависит от числа Рейнольдса и может быть описана в рамках модели Спитцера или модели с аномальной резистивностью. В окрестности точки реконекции возникают интенсивные токовые листы, где происходят резкие преобразования энергии.
Применения магнитогидродинамики
Магнитогидродинамика представляет собой уникальное сочетание электродинамики и механики сплошной среды, формируя богатый и многообразный набор явлений, лежащих в основе как фундаментальных, так и прикладных процессов в физике плазмы.