Материальная и пространственная формы описания. Рассмотрим деформируемое континуальное тело, состоящее из бесконечно большого числа материальных точек. В теоретической механике различают две основные формы описания движения — материальную (лагранжеву) и пространственную (эйлерову).
В материальной форме каждая частица тела идентифицируется по её начальной позиции $$ в момент времени $t=0$, и её текущие координаты в момент времени $t$ описываются функцией движения:
x = x(X, t).
В пространственной форме вектор скорости, плотность и другие поля описываются как функции текущих координат и времени:
v = v(x, t), ρ = ρ(x, t), и т.д.
Градиент деформации и тензоры деформации. Градиент отображения $F_{ij} = $ определяет линейное приближение движения вблизи заданной точки. На его основе строятся тензоры:
Cij = FkiFkj,
Bij = FikFjk.
Поле скорости и ускорения. В пространственном описании скорость — это производная положения частицы по времени:
$$ \mathbf{v}(\mathbf{x}, t) = \left.\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right|_{\mathbf{X}}. $$
Ускорение — материальная производная скорости:
$$ \mathbf{a} = \frac{D \mathbf{v}}{Dt} = \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v}. $$
Поле плотности. Плотность в лагранжевой системе связана с якобианом преобразования:
$$ \rho(\mathbf{x}, t) = \frac{\rho_0(\mathbf{X})}{\det F}. $$
Уравнение неразрывности:
$$ \frac{D \rho}{Dt} + \rho \, \nabla \cdot \mathbf{v} = 0. $$
Тензор напряжений. Состояние напряжений описывается симметричным тензором второго ранга $$, компоненты которого $_{ij}$ представляют проекции силы на поверхность, нормаль к которой направлена вдоль $x_j$, а сила — вдоль $x_i$.
Уравнения Эйлера — закон сохранения импульса. В отсутствие объемных сил уравнение баланса импульса записывается как:
$$ \rho \frac{D v_i}{D t} = \partial_j \sigma_{ij} + \rho f_i, $$
где $$ — плотность, $f_i$ — компоненты массовой силы (например, силы тяжести).
Уравнение баланса момента импульса. Требование симметрии тензора напряжений:
σij = σji.
Уравнение сохранения массы. Уже упомянутое уравнение неразрывности — это форма закона сохранения массы:
$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0. $$
Уравнение энергии. Принимая во внимание работу внутренних сил и изменение внутренней энергии $u$, уравнение баланса энергии имеет вид:
$$ \rho \frac{D u}{Dt} = \sigma_{ij} \, \partial_j v_i - \nabla \cdot \mathbf{q} + r, $$
где $$ — тепловой поток, $r$ — удельный источник тепла.
Линейно-упругие тела. Для упругих тел, подчиняющихся закону Гука, существует линейная зависимость между тензором напряжений и тензором малых деформаций $_{ij}$:
σij = Cijklεkl,
где $C_{ijkl}$ — тензор упругости четвёртого ранга.
Изотропный линейный закон Гука:
σij = λδijεkk + 2μεij,
где $$ и $$ — коэффициенты Ламе, $_{ij}$ — символ Кронекера.
Жидкости. Для ньютоновской жидкости тензор напряжений выражается через вязкость $$:
$$ \sigma_{ij} = -p \delta_{ij} + 2\mu \, e_{ij}, \quad e_{ij} = \frac{1}{2} \left( \partial_j v_i + \partial_i v_j \right). $$
Продольные и поперечные волны. В линейно-упругой изотропной среде возможны два типа волн:
Уравнение Ламе. Векторное уравнение движения линейно-упругой среды:
$$ \rho \frac{\partial^2 \mathbf{u}}{\partial t^2} = (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \mathbf{u}) + \mu \nabla^2 \mathbf{u}. $$
При предположении малости перемещений вводится тензор малых деформаций:
$$ \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right). $$
Тогда уравнения баланса, линейные связи между напряжениями и деформациями, уравнение Ламе и другие соотношения упрощаются, и теория становится линейной.
В задачах без вихрей скорость можно представить как градиент скалярного потенциала:
v = ∇ϕ.
Для бесконечно протяжённой упругой среды такие представления позволяют использовать методы теории потенциала и уравнения Гельмгольца для изучения волновых процессов и дифракции.
Уравнения Эйлера для идеальной жидкости:
$$ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} \right) = -\nabla p + \rho \mathbf{f}. $$
Уравнение Бернулли (в установившемся потоке):
$$ \frac{1}{2} v^2 + \frac{p}{\rho} + \Phi = \text{const вдоль линии тока}. $$
Уравнения Навье — Стокса (вязкая жидкость):
$$ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \rho \mathbf{f}. $$
При наличии теплопереноса и необратимых процессов необходимо вводить уравнение баланса энтропии:
$$ \rho \frac{D s}{D t} + \nabla \cdot \left( \frac{\mathbf{q}}{T} \right) \geq \frac{r}{T}, $$
что выражает второй закон термодинамики в континуальном приближении. Для обратимых процессов неравенство превращается в равенство.
Теория механики сплошных сред объединяет механические, термодинамические и математические аспекты описания континуальных тел, позволяя моделировать широкий класс физических явлений — от акустики и сейсмологии до течения жидкостей, пластичности и разрушения материалов.