Твердое тело — это идеализированная модель, в которой расстояния между любыми двумя точками тела остаются постоянными во времени. Такая модель позволяет описывать поступательное и вращательное движение без учета внутренних деформаций.
Положение твердого тела в пространстве полностью определяется положением одной из его точек (обычно центра масс) и ориентацией тела относительно некоторой неподвижной системы координат. Ориентация может быть задана, например, с помощью углов Эйлера, матрицы поворота или кватернионов.
Поступательное движение описывается как движение центра масс:
r⃗C(t) = r⃗0 + ∫0tv⃗C(τ) dτ
Вращательное движение задаётся с использованием угловой скорости ω⃗, связанной с изменением ориентации тела.
Для произвольной точки твердого тела:
v⃗ = v⃗C + ω⃗ × r⃗′
где r⃗′ — радиус-вектор от центра масс к данной точке тела.
Угловая скорость ω⃗ характеризует мгновенную ось вращения и скорость поворота. Для твердого тела движение не является чисто поступательным, и необходимо учитывать вращательные степени свободы.
Момент импульса твердого тела:
L⃗ = ∫Vr⃗ × v⃗ dm = ∫Vr⃗ × (ω⃗ × r⃗) dm
Этот интеграл приводит к тензору инерции Î:
L⃗ = Îω⃗
где Î — симметричный тензор второго ранга:
Iij = ∫V(δijr2 − rirj) dm
В главных осях инерции Î диагонален, и его элементы называются главными моментами инерции I1, I2, I3.
Для вращательного движения относительно неподвижной точки (чаще всего центра масс или неподвижной оси), при использовании главных осей инерции, уравнения движения запишутся как уравнения Эйлера:
$$ \begin{aligned} I_1 \dot{\omega}_1 + (I_3 - I_2) \omega_2 \omega_3 &= M_1 \\ I_2 \dot{\omega}_2 + (I_1 - I_3) \omega_3 \omega_1 &= M_2 \\ I_3 \dot{\omega}_3 + (I_2 - I_1) \omega_1 \omega_2 &= M_3 \end{aligned} $$
где ωi — компоненты угловой скорости в главной системе координат, Mi — компоненты внешнего момента сил в той же системе.
Теорема Штейнера позволяет вычислять момент инерции относительно произвольной оси, зная момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс:
I = IC + md2
где d — расстояние между осями, m — масса тела, IC — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс.
В случае отсутствия внешнего момента (свободное вращение), компоненты момента импульса сохраняются в инерциальной системе отсчёта. Сохраняются также следующие величины:
$$ E = \frac{1}{2} \vec{\omega}^T \hat{I} \vec{\omega} $$
|L⃗|2 = const
В силу этого возможен анализ движения тела на основе геометрической интерпретации: тело вращается так, что момент импульса сохраняется по модулю и направлению, а угловая скорость описывает траекторию на поверхности эллипсоида кинетической энергии.
Гироскопическое движение — пример устойчивого вращения с постоянным моментом импульса. Если ось гироскопа наклонена и на тело действует момент силы тяжести, то наблюдается прецессия — медленное вращение оси вокруг вертикали. Скорость прецессии при малых углах наклона:
$$ \Omega = \frac{Mgr}{I_z \omega} $$
где M — масса тела, g — ускорение свободного падения, r — расстояние от точки подвеса до центра масс, Iz — момент инерции относительно оси вращения, ω — угловая скорость собственного вращения.
Если учесть изменение направления оси вращения, добавляется нутация — колебания оси гироскопа относительно средней траектории прецессии.
Особый интерес представляет движение симметричных тел:
Асимметричное тело, напротив, демонстрирует сложное поведение. Примером является нестабильность среднего момента инерции: если тело вращается около оси, соответствующей промежуточному значению момента инерции, малые возмущения приводят к резкой потере устойчивости (эффект переворачивающейся книги).
Геометрия твердотельного вращения тесно связана с:
Вращательное движение можно интерпретировать как движение вектора ω⃗ по пересечению этих поверхностей — эллипсоида инерции и сферы момента импульса.
Особое место занимает так называемая теорема Пуансо–Арнольда–Лагранжа, утверждающая, что при отсутствии внешних моментов вращательное движение твердого тела является интегрируемым и может быть описано с помощью эллипсоидов инерции и сфер момента импульса, без необходимости интегрировать уравнения Эйлера напрямую.
Механика твердого тела допускает полное описание с использованием лагранжевого формализма. Обобщённые координаты — углы Эйлера и координаты центра масс. С помощью лагранжиана:
$$ L = T - V = \frac{1}{2} \vec{\omega}^T \hat{I} \vec{\omega} + \frac{1}{2} m \vec{v}_C^2 - V(\vec{r}_C, \theta, \phi, \psi) $$
можно вывести уравнения движения. Гамильтонова формализация вводит обобщённые импульсы и приводит к системам уравнений, где консервативные законы энергии и момента играют фундаментальную роль.
Если система обладает симметрией (например, осевой симметрией или отсутствием внешних моментов), то согласно теореме Нётер сохраняются соответствующие величины: компоненты углового момента, энергия, циклические координаты. Это значительно упрощает анализ задач и позволяет интегрировать уравнения движения.