Общие положения модели
Модель жидкой капли представляет собой приближённое описание ядра, в котором оно трактуется как капля несжимаемой жидкости. Это приближение позволяет учесть совокупность ядерных взаимодействий в среднеарифметическом смысле, игнорируя индивидуальные особенности движения отдельных нуклонов. В основе модели лежит идея, что поведение нуклонов в ядре аналогично молекулам в капле жидкости: они взаимодействуют короткодействующими силами, обладают коллективными степенями свободы и подчиняются законам сохранения.
Модель позволяет дать качественное и количественное объяснение ряду фундаментальных свойств ядер: зависимости энергии связи от массового и зарядового числа, устойчивости и радиоактивности изотопов, характеру ядерных реакций и деления.
Формула Вайцзеккера
Математическое выражение модели жидкой капли принято в форме полуэмпирической формулы массы (или энергии связи), предложенной Вайцзеккером. Энергия связи ядра B(Z, A) определяется как сумма нескольких вкладов:
$$ B(Z, A) = a_v A - a_s A^{2/3} - a_c \frac{Z(Z - 1)}{A^{1/3}} - a_a \frac{(A - 2Z)^2}{A} + \delta(A, Z) $$
где:
Объяснение слагаемых
Объёмный член avA Этот вклад пропорционален числу нуклонов и отражает тот факт, что каждый нуклон взаимодействует с фиксированным числом ближайших соседей (из-за короткодействия сильного ядерного взаимодействия). Этот вклад максимизирует энергию связи и тем самым обуславливает стремление к максимальной плотности.
Поверхностный член −asA2/3 Нуклоны, находящиеся на поверхности, имеют меньше соседей, следовательно, менее связаны. Число таких нуклонов пропорционально поверхности ядра, которая масштабируется как A2/3. Это слагаемое уменьшает энергию связи и стабилизирует размеры ядра.
Кулоновский член $-a_c \frac{Z(Z - 1)}{A^{1/3}}$ Отталкивание между протонами увеличивает потенциальную энергию и ослабляет связность ядра. Объём ядра масштабируется как A1/3, так что среднее расстояние между протонами также подчиняется этой зависимости. Слагаемое учитывает электростатическое отталкивание и объясняет снижение устойчивости тяжёлых ядер с большим Z.
Асимметричный член $-a_a \frac{(A - 2Z)^2}{A}$ Энергетически наиболее выгодна ситуация, когда число протонов и нейтронов примерно одинаково. Отклонение от этого состояния приводит к росту энергии из-за ферми-статистического давления: уровни заполняются неравномерно, увеличивая среднюю энергию нуклонов.
Парный член δ(A, Z) Зависящий от чётности, этот вклад эмпирически определяется следующим образом:
$$ \delta(A, Z) = \begin{cases} +\delta_0 A^{-3/4}, & \text{для чётно-чётных ядер} \\ 0, & \text{для нечётных ядер} \\ -\delta_0 A^{-3/4}, & \text{для нечётно-нечётных ядер} \end{cases} $$
Он отражает тенденцию нуклонов к образованию пар с противоположными спинами, аналогично кооперативным эффектам в бозонных системах.
Анализ зависимости энергии связи от A и Z
Энергия связи на нуклон B/A не является строго возрастающей функцией от A. Она достигает максимума в районе A ≈ 56 (железо), что объясняет устойчивость этих ядер и их распространённость в природе. При меньших A сказывается влияние поверхностного и асимметричного членов. При больших A доминирует кулоновское отталкивание, и устойчивость уменьшается, предрасполагая ядра к делению.
Устойчивость и радиоактивность
Модель предсказывает устойчивость ядер к распаду путём оценки разности энергии связи между исходным ядром и продуктами распада. Например, при альфа-распаде или спонтанном делении энергия связи уменьшается из-за кулонового члена. Для тяжёлых ядер (например, урана) уменьшение энергии за счёт отделения фрагмента (альфа-частицы или другого осколка) может быть компенсировано уменьшением кулоновой энергии, делая распад энергетически выгодным.
Применение к делению ядер
Модель жидкой капли дала основу для феноменологического описания процесса ядерного деления, предложенного Бором и Уилером. В этом контексте ядро рассматривается как капля, способная деформироваться. При определённой энергии возбуждения (или при захвате нейтрона) капля удлиняется, приобретает форму “груши”, а затем делится. Суммарная энергия связи фрагментов оказывается выше, чем у исходного ядра, что сопровождается высвобождением энергии — основа ядерной энергетики.
Ограничения модели
Несмотря на свои успехи, модель жидкой капли не учитывает квантово-механических свойств нуклонов и уровневую структуру ядер. Она неспособна объяснить “магические числа”, структуру ядерных оболочек, а также особенности маломассивных ядер. Эти недостатки восполняются оболочечной моделью, которая рассматривает ядро как систему нуклонов, движущихся в среднем потенциальном поле с учётом квантовых правил заполнения уровней.
Эволюция модели и современные представления
Позднейшие модификации модели жидкой капли включают деформационные параметры, описание колебательных и вращательных состояний, использование параметров плотности энергии, а также связывание с микроскопическими моделями типа Hartree-Fock-Bogoliubov. Тем не менее, даже в своей базовой форме модель остаётся фундаментальной для описания макроскопических свойств ядер и ядерных реакций, включая астрофизические процессы, такие как синтез элементов в звёздах и взрывах сверхновых.
Ключевые выводы модели