Операторы момента импульса и их свойства
В квантовой механике момент импульса, как и любая физическая величина, представляется оператором. Компоненты орбитального момента импульса выражаются через координаты и импульсы следующим образом:
$$ \hat{L}_x = -i\hbar \left( y \frac{\partial}{\partial z} - z \frac{\partial}{\partial y} \right), \quad \hat{L}_y = -i\hbar \left( z \frac{\partial}{\partial x} - x \frac{\partial}{\partial z} \right), \quad \hat{L}_z = -i\hbar \left( x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x} \right) $$
В векторной форме оператор орбитального момента импульса:
$$ \hat{\vec{L}} = \hat{\vec{r}} \times \hat{\vec{p}} = -i\hbar \left( \vec{r} \times \nabla \right) $$
Коммутационные соотношения операторов момента импульса
Компоненты оператора момента импульса не коммутируют между собой. Их коммутационные соотношения имеют вид:
[L̂x, L̂y] = iℏL̂z, [L̂y, L̂z] = iℏL̂x, [L̂z, L̂x] = iℏL̂y
Обобщённо:
[L̂i, L̂j] = iℏ∑kεijkL̂k
где εijk — символ Леви-Чивиты. Эти соотношения соответствуют алгебре группы вращений SO(3).
Квадрат оператора момента импульса:
L̂2 = L̂x2 + L̂y2 + L̂z2
Коммутирует с каждой из компонент:
[L̂2, L̂x] = [L̂2, L̂y] = [L̂2, L̂z] = 0
Это означает, что существует общая система собственных функций для L̂2 и одной из компонент (обычно L̂z).
Собственные значения и собственные функции
Оператор L̂2 имеет собственные значения вида:
L̂2Ylm = ℏ2l(l + 1)Ylm
а для проекции на ось z:
L̂zYlm = ℏmYlm
где l = 0, 1, 2, …, m = −l, −l + 1, …, l, а Ylm(θ, φ) — сферические гармоники.
Операторы подъема и понижения
Важным инструментом анализа являются операторы подъёма и понижения:
L̂± = L̂x ± iL̂y
Они удовлетворяют:
[L̂z, L̂±] = ±ℏL̂±, [L̂2, L̂±] = 0
При действии на собственные функции Ylm:
$$ \hat{L}_\pm Y_{lm} = \hbar \sqrt{l(l+1) - m(m \pm 1)} Y_{l,m \pm 1} $$
Таким образом, L̂+ увеличивает, а L̂− уменьшает магнитное квантовое число m на единицу, не изменяя l.
Момент импульса в сферических координатах
В сферических координатах (r, θ, φ) компоненты L̂i принимают более простую форму. Особенно просто выглядит L̂z:
$$ \hat{L}_z = -i\hbar \frac{\partial}{\partial \varphi} $$
Оператор L̂2 выражается через угловые производные:
$$ \hat{L}^2 = -\hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \right] $$
Общий момент импульса: орбитальный и спиновый вклад
Полный момент импульса $\hat{\vec{J}}$ может содержать орбитальную и спиновую части:
$$ \hat{\vec{J}} = \hat{\vec{L}} + \hat{\vec{S}} $$
Спин $\hat{\vec{S}}$ не имеет классического аналога и характеризует внутреннюю степень свободы. Коммутационные соотношения для $\hat{\vec{S}}$ аналогичны:
[Ŝi, Ŝj] = iℏ∑kεijkŜk
Спиновые состояния описываются квантовыми числами s и ms, где $s = 0, \tfrac{1}{2}, 1, \tfrac{3}{2}, \ldots$, а ms = −s, −s + 1, …, s.
Полный момент импульса также удовлетворяет:
[Ĵ2, Ĵz] = 0, [Ĵi, Ĵj] = iℏ∑kεijkĴk
Ĵ2|j, m⟩ = ℏ2j(j + 1)|j, m⟩, Ĵz|j, m⟩ = ℏm|j, m⟩
Сложение моментов импульса
При наличии двух независимых моментов импульса $\hat{\vec{J}}_1$ и $\hat{\vec{J}}_2$, полный момент:
$$ \hat{\vec{J}} = \hat{\vec{J}}_1 + \hat{\vec{J}}_2 $$
Его квадрат:
$$ \hat{J}^2 = \hat{J}_1^2 + \hat{J}_2^2 + 2 \hat{\vec{J}}_1 \cdot \hat{\vec{J}}_2 $$
Собственные состояния |j1, j2; j, m⟩ выражаются через базисные состояния |j1, m1⟩⊗|j2, m2⟩ с помощью коэффициентов Клебша-Гордана:
|j1, j2; j, m⟩ = ∑m1, m2Cj1j2jm1m2m|j1, m1⟩|j2, m2⟩
Квантовое число j принимает значения:
j = |j1 − j2|, |j1 − j2| + 1, …, j1 + j2
Принцип неопределённости для момента импульса
Так как компоненты момента импульса не коммутируют, нельзя одновременно точно измерить, например, Lx и Ly. Применимы соотношения неопределённости:
$$ \Delta L_x \Delta L_y \geq \frac{1}{2} |\langle [\hat{L}_x, \hat{L}_y] \rangle| = \frac{\hbar}{2} |\langle \hat{L}_z \rangle| $$
Квантование момента импульса и симметрия пространства
Квантование момента импульса является прямым следствием симметрии пространства. Алгебра моментов импульса связана с непрерывными вращениями, описываемыми группой SO(3) (или SU(2) для учёта спина). Это проявление глубокой связи между симметриями и законами сохранения, отражённой в теореме Нётер.
Влияние момента импульса на спектры атомов
В атомной физике момент импульса играет ключевую роль в определении структуры спектров. Различные значения l и s, а также их сумма j, приводят к расщеплению уровней (тонкая структура, сверхтонкая структура). Спин-орбитальное взаимодействие вносит вклад в гамильтониан:
$$ \hat{H}_{\text{SO}} \propto \hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{S}} $$
Это приводит к дополнительному расщеплению энергетических уровней в атомах.
Групповые аспекты и представления SU(2)
Формальная структура алгебры момента импульса идентична алгебре Ли группы SU(2), что позволяет использовать методы теории представлений. Все состояния с фиксированным j образуют (2j+1)-мерное неприводимое представление SU(2). Это фундаментально для описания спиновых состояний и построения многочастичных квантовых состояний.