Неабелевы калибровочные теории

Калибровочные теории основаны на принципе локальной симметрии: если некоторая физическая система инвариантна относительно глобальной симметрии, то можно потребовать её инвариантности и при локальной версии этой симметрии, т.е. при параметрах преобразования, зависящих от пространственно-временных координат. Для реализации этого принципа необходимо ввести дополнительные поля — калибровочные поля, — которые обеспечивают инвариантность действия.

Абелевыми называются калибровочные теории, построенные на основе коммутативной группы (например, U(1)), как в случае электродинамики. Неабелевы теории используют некоммутативные (неабелевы) группы, такие как SU(2), SU(3), и требуют более сложной структуры взаимодействий между калибровочными полями.

Группы Ли и структуры неабелевых теорий

Пусть G — непрерывная неабелева компактная группа Ли. Локальная симметрия предполагает, что поле ψ(x), принадлежащее некоторому представлению группы G, трансформируется как

ψ(x) → U(x)ψ(x), U(x) ∈ G.

Чтобы производная ∂_μψ(x) также трансформировалась ковариантно, вводится ковариантная производная

D_μ = ∂_μ + igA_μ(x),

где A_μ(x) = A_μ^a(x)T^a — калибровочное поле, T^a — генераторы алгебры Ли группы G, удовлетворяющие коммутатору

[T^a, T^b] = if^abcT^c,

где f^abc — структурные константы группы.

Калибровочные поля и тензор напряжённости

Калибровочные поля A_μ^a(x) сами по себе являются динамическими полями. Их динамика описывается через тензор напряжённости поля F_μν, определённый как

$$ F_{\mu\nu} = \frac{i}{g} [D_\mu, D_\nu] = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu + ig [A_\mu, A_\nu]. $$

В координатной записи:

F_μν^a = ∂_μA_ν^a − ∂_νA_μ^a + gf^abcA_μ^bA_ν^c.

Это выражение демонстрирует нелинейность неабелевых калибровочных теорий: поля A_μ^a взаимодействуют сами с собой.

Лагранжиан и действие

Лагранжиан свободного калибровочного поля в неабелевой теории имеет вид:

$$ \mathcal{L}_\text{gauge} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}^a F^{\mu\nu a}. $$

Добавление материи (например, спинорного поля ψ) приводит к общему лагранжиану:

$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}^a F^{\mu\nu a} + \bar{\psi}(i \gamma^\mu D_\mu - m) \psi. $$

Лагранжиан инвариантен относительно локальных преобразований группы G, что лежит в основе gauge-инвариантной теории поля.

Калибровочная инвариантность и фиксация калибровки

При квантовании неабелевой калибровочной теории возникает необходимость фиксации калибровки, так как избыточность переменных приводит к расходимостям в функциональном интеграле. Это достигается введением условий калибровки, таких как калибровка Фейнмана или Лоренца:

∂^μA_μ^a = 0.

Однако в неабелевых теориях простая фиксация калибровки недостаточна. Требуется учёт фантомных полей (ghost fields) — антикоммутирующих скалярных полей c^a, которые компенсируют нефизические степени свободы. Это достигается с помощью метода Фаддеева–Попова, в результате которого функциональный интеграл принимает корректную форму.

Примеры неабелевых теорий: хромодинамика и слабые взаимодействия

Наиболее известные физические реализации неабелевых калибровочных теорий:

Квантовая хромодинамика (КХД) — теория сильного взаимодействия, построенная на группе SU(3). В ней глюоны A_μ^a взаимодействуют с кварками и между собой.
Слабые взаимодействия — описываются теорией на группе SU(2)×U(1), включающей бозоны W^±, Z⁰ и фотон γ. Спонтанное нарушение симметрии посредством механизма Хиггса приводит к появлению массивных калибровочных бозонов.

Механизм Хиггса в неабелевых теориях

Калибровочные бозоны в неабелевых теориях могут приобретать массу без нарушения калибровочной инвариантности через механизм Хиггса. Вводится скалярное поле ϕ, которое трансформируется под действием группы G и приобретает ненулевое вакуумное среднее ⟨ϕ⟩ ≠ 0, что приводит к спонтанному нарушению симметрии.

При этом часть калибровочных полей становится массивной, часть — остаётся безмассовой, как, например, фотон в электрослабом взаимодействии. Число оставшихся безмассовых калибровочных бозонов соответствует числу несломанных генераторов.

Калибровочные токи и уравнения движения

Из лагранжиана с калибровочной симметрией можно получить уравнения Эйлера–Лагранжа для калибровочных полей:

D^μF_μν^a = j_ν^a,

где j_ν^a — ток материи, связанный с симметрией. Эти уравнения обобщают уравнения Максвелла на случай неабелевой структуры. В отличие от абелевой теории, здесь присутствуют нелинейные члены из-за самодействия полей.

Конфайнмент и асимптотическая свобода

Особенностью неабелевых теорий является поведение на высоких и низких энергиях. В квантовой хромодинамике:

Асимптотическая свобода означает, что на малых расстояниях (высоких энергиях) взаимодействие между кварками становится слабым. Это объясняет успех пертурбативных методов при высоких энергиях.
Конфайнмент — при больших расстояниях калибровочные поля (глюоны) усиливают взаимодействие, и кварки не могут существовать в изолированном виде. Это — непертурбативное явление, объясняющее отсутствие свободных кварков.

Топологические аспекты неабелевых теорий

Неабелевы калибровочные теории обладают богатой топологической структурой. Возможны конфигурации с ненулевыми топологическими числами:

Инстантоны — решения уравнений движения в евклидовом пространстве, характеризующие туннельные переходы между вакуумами с разной топологией.
Магнитные монополи — появляются в теориях с частичным нарушением симметрии, например, при разложении SU(5) → SU(3)×SU(2)×U(1).
Аномалии — квантовые нарушения классических симметрий, которые могут приводить к несохранению токов. Их наличие или отсутствие критически важно для согласованности теории.

Квантование и BRST-симметрия

Полноценное квантование неабелевой калибровочной теории требует более глубокой симметрии, чем просто gauge-инвариантность. Вводится BRST-симметрия — глобальная фермионная симметрия, объединяющая физические и фантомные поля. Эта симметрия обеспечивает сохранение унитарности и исключение нефизических состояний.

Актуальность и приложения

Неабелевы калибровочные теории составляют фундамент современного Стандартной модели. Их математическая структура широко используется также в теориях великого объединения, суперсимметрии, теориях струн и петлевой квантовой гравитации. Теоретические разработки в этой области напрямую связаны с результатами высокоэнергетических экспериментов, такими как эксперименты на Большом адронном коллайдере.