Линейный анализ неустойчивостей в плазме
Рассмотрим слабые возмущения равновесного состояния плазмы. Пусть равновесные параметры обозначаются индексом 0, а малые возмущения — индексом 1:
n = n0 + n1, v = v0 + v1, E = E0 + E1, B = B0 + B1
Подставляя эти выражения в уравнения гидродинамики или кинетической теории и линеаризуя по первым порядкам малости, получают систему линейных уравнений для возмущений. Далее предполагается гармонический вид возмущений:
∝ ei(k ⋅ r − ωt)
Получается система алгебраических уравнений на амплитуды, определяемая характеристическим (дисперсионным) уравнением. Комплексное значение частоты $= _r + i$ определяет поведение возмущения. Если $> 0$, возмущение экспоненциально растёт, что указывает на неустойчивость плазмы.
Классификация неустойчивостей
Неустойчивости в плазме можно классифицировать по физическому механизму:
Также деление можно проводить по пространственной структуре (одномерные, двумерные и т.д.), по направлению распространения возмущений относительно магнитного поля (поперечные, продольные, наклонные) и по роли токов и градиентов.
Неустойчивость дрейфа
В неоднородной плазме, где существует градиент плотности, даже в отсутствии макроскопического тока могут возникать дрейфовые неустойчивости. Основной причиной служит поперечный дрейф электронов и ионов в направлении, перпендикулярном одновременно градиенту плотности и магнитному полю. Частота дрейфовой волны имеет вид:
$$ \omega = \omega_*\quad \text{где} \quad \omega_* = \frac{k_y T_e}{e B} \frac{d\ln n_0}{dx} $$
Если добавляется сдвиг по скоростям или температуре, дрейфовая волна становится неустойчивой. Это одна из главных форм низкочастотных неустойчивостей в тороидальных установках типа токамаков.
МГД-неустойчивости
Для описания макроскопических возмущений в сильно проводящей плазме используется магнитогидродинамика. Основные виды МГД-неустойчивостей:
Линеаризованные МГД-уравнения позволяют получить дисперсионное соотношение, из которого выводятся условия устойчивости. Например, критерий Тайлора для устойчивости относительно кинк-моды:
q(r) > 1 для всех r
Потери частиц и неустойчивость градиента температуры
Если в плазме существует градиент температуры, возможно развитие термической неустойчивости. Например, при локальном увеличении температуры растёт теплопроводность, усиливается теплоперенос, и область становится ещё горячее, приводя к росту возмущения. Такая неустойчивость особенно важна в астрофизических плазмах, например, в короне Солнца.
Кинетические неустойчивости: неустойчивость бампа-на-хвосте
Если функция распределения по скоростям $f(v)$ имеет максимум при $v > v_T$ (бамп), это может привести к возбуждению волн Лэнгмюра. Частицы из “бампа” резонансно взаимодействуют с волнами, отдавая им энергию:
$$ \gamma \sim \left.\frac{\partial f}{\partial v}\right|_{v=\omega/k} > 0 $$
Этот механизм лежит в основе бампово-хвостовой неустойчивости — классического примера кинетической неустойчивости, изученного в рамках уравнения Власова.
Неустойчивость струй и пучков
Плазма, пересекаемая быстрым пучком заряженных частиц, может испытывать двухпотоковую неустойчивость. Если скорость пучка $v_b$ велика по сравнению со скоростью теплового движения фона, возникает резонансная передача энергии от пучка к плазменным волнам:
$$ \omega^2 = \omega_{pe}^2 + 3k^2 v_{Te}^2 + \frac{n_b}{n_0} \frac{\omega_{pb}^2}{1 - v_b^2 k^2/\omega^2} $$
При определённых условиях в этом выражении возникает комплексное $$, соответствующее экспоненциальному росту возмущения. Это один из основных механизмов генерации турбулентности при инжекции пучков.
Параметрические и резонансные неустойчивости
В плазме возможны параметрические неустойчивости, когда сильная накачка на частоте $_0$ возбуждает два побочных колебания на частотах $_1$ и $_2$, удовлетворяющих условиям резонанса:
ω0 = ω1 + ω2, k0 = k1 + k2
Пример — неустойчивость распада: мощная электромагнитная волна распадается на волну Лэнгмюра и ионно-звуковую волну. Такие процессы важны при взаимодействии интенсивного лазерного излучения с плазмой.
Токи и неустойчивости типа Пирса
Поток электронов, ограниченный в канале, может вызывать неустойчивость Пирса, основанную на самосогласованном поле, создаваемом пространственным зарядом. Это классическая задача для электронных пучков в диодах и лампах бегущей волны. Дисперсионное соотношение имеет комплексные корни, соответствующие бегущим неустойчивым модам.
Сдвиговые неустойчивости
Если в плазме имеются сдвиговые скорости — например, различные скорости у электронов и ионов или между слоями плазмы — возможна сдвиговая неустойчивость, по аналогии с неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца в гидродинамике. Это особенно важно на границах слоёв в магнитосферной плазме и на краях токамаков. Возникает вихревая структура, приводящая к нарушению ламинарности.
Общие критерии устойчивости
Из уравнений движения можно вывести интегральные критерии устойчивости, основанные на энергетическом подходе. Если при возмущении полная энергия системы уменьшается, система неустойчива. Пример — энергетический критерий Крейга-Олбенса, применяемый в МГД. Кинетические критерии также используют знак производной функции распределения вблизи резонанса.
Роль неустойчивостей в плазменной турбулентности
Большинство неустойчивостей в плазме приводят к развитию турбулентности — стохастической структуры возмущённых полей и плотности. Турбулентность оказывает решающее влияние на транспорт частиц, импульса и энергии, особенно в замкнутых магнитных ловушках. Современные численные модели (gyrokinetic, fluid) активно используются для исследования этого явления.
Заключительное замечание по роли неустойчивостей
Неустойчивости являются ключевым элементом самосогласованной динамики плазмы. Они определяют пределы устойчивого конфайнмента, параметры нагрева, условия для устойчивого горения в термоядерных установках. Исследование неустойчивостей остаётся важнейшей частью современной теоретической и прикладной физики плазмы.