Уравнения движения и закон Лоренца
Движение заряженной частицы в электромагнитном поле описывается через релятивистский или нерелятивистский вариант второго закона Ньютона, в котором сила взаимодействия даётся законом Лоренца. В нерелятивистском приближении:
$$ m \frac{d\mathbf{v}}{dt} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}), $$
где m — масса частицы, q — заряд, v — скорость, E — электрическое поле, B — магнитное поле.
Уравнение описывает движение частицы под действием силы, обусловленной электрическим полем (прямая пропорциональность E) и магнитным полем (векторное произведение v × B).
Если поля зависят от времени и координат, система уравнений становится сложно разрешимой в общем виде и требует применения численных методов либо введения приближений.
Случай постоянного магнитного поля
Рассмотрим важный частный случай: E = 0, B = const. Тогда уравнение движения:
$$ m \frac{d\mathbf{v}}{dt} = q (\mathbf{v} \times \mathbf{B}). $$
Выберем координатную систему так, чтобы $\mathbf{B} = B \hat{\mathbf{z}}$. Тогда компоненты уравнения:
$$ \begin{cases} \dot{v}_x = \omega_c v_y, \\ \dot{v}_y = -\omega_c v_x, \\ \dot{v}_z = 0, \end{cases} $$
где $\omega_c = \dfrac{qB}{m}$ — циклотронная частота. Решение для скоростей:
$$ \begin{cases} v_x(t) = v_\perp \cos(\omega_c t + \phi), \\ v_y(t) = v_\perp \sin(\omega_c t + \phi), \\ v_z(t) = v_{z0}. \end{cases} $$
Интегрируя скорости, получим координаты:
$$ \begin{cases} x(t) = \dfrac{v_\perp}{\omega_c} \sin(\omega_c t + \phi), \\ y(t) = -\dfrac{v_\perp}{\omega_c} \cos(\omega_c t + \phi) + C, \\ z(t) = v_{z0} t + z_0. \end{cases} $$
Таким образом, траектория частицы представляет собой винтовую линию (спираль), навитую на цилиндр вдоль направления поля B. Радиус спирали:
$$ \rho_L = \frac{v_\perp}{\omega_c}, $$
называется лоренцевским радиусом или радиусом Лармора.
Случай однородного электрического поля
Если B = 0, а E = const, уравнение становится:
$$ m \frac{d\mathbf{v}}{dt} = q \mathbf{E}. $$
Тогда:
$$ \mathbf{v}(t) = \mathbf{v}_0 + \frac{q \mathbf{E}}{m} t, \quad \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + \mathbf{v}_0 t + \frac{1}{2} \frac{q \mathbf{E}}{m} t^2. $$
Движение частицы представляет собой равноускоренное движение в направлении электрического поля.
Перекрестные поля: E ⟂ B
Рассмотрим случай, когда E и B однородны, постоянны и взаимно перпендикулярны. Пусть:
$$ \mathbf{E} = E \hat{\mathbf{x}}, \quad \mathbf{B} = B \hat{\mathbf{z}}. $$
Уравнение движения:
$$ m \frac{d\mathbf{v}}{dt} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}). $$
Введём дрейфовую скорость $\mathbf{v}_d = \dfrac{\mathbf{E} \times \mathbf{B}}{B^2}$. В данном случае:
$$ \mathbf{v}_d = \frac{E}{B} \hat{\mathbf{y}}. $$
Это означает, что частица, независимо от её начальной скорости, в среднем движется с постоянной скоростью вдоль оси y. Физически это связано с тем, что в каждом элементарном цикле Лармора частица испытывает сдвиг в направлении vd, что и создаёт макроскопический дрейф.
Полное движение — это наложение кругового движения (лоренцевская орбита) и поступательного движения вдоль vd.
Работа поля и изменение энергии
Энергия частицы может изменяться только за счёт электрического поля. Магнитное поле не совершает работы, так как сила qv × B всегда перпендикулярна v, и скалярное произведение F ⋅ v = 0. Таким образом:
$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} m v^2 \right) = q \mathbf{v} \cdot \mathbf{E}. $$
Если E = 0, полная кинетическая энергия сохраняется. При наличии электрического поля возможен как разгон, так и торможение в зависимости от направления E.
Релятивистское движение
При высоких скоростях необходимо использовать релятивистскую формулировку. Импульс частицы:
$$ \mathbf{p} = \gamma m \mathbf{v}, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}. $$
Уравнение Лоренца принимает вид:
$$ \frac{d}{dt} (\gamma m \mathbf{v}) = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}). $$
Аналитическое решение уравнений затруднено, однако в ряде случаев возможно сохранение инвариантов движения, таких как полный импульс, энергия, компоненты момента импульса и первый интеграл движения.
Инварианты движения
Для движения в стационарных полях можно выделить величины, сохраняющиеся во времени.
Полная энергия: сохраняется, если поля не зависят от времени.
Импульс вдоль симметрии: при наличии симметрий (например, осевая симметрия магнитного поля) сохраняется проекция импульса на соответствующее направление.
Первый адъективный инвариант: в случае медленно изменяющегося магнитного поля можно ввести магнитный момент частицы:
$$ \mu = \frac{m v_\perp^2}{2B}, $$
который approximately сохраняется при медленном изменении поля — адиабатический инвариант.
Зеркальный эффект и магнитные ловушки
Если частица движется в неоднородном магнитном поле с увеличением B вдоль некоторой оси (например, вдоль z), то из сохранения магнитного момента следует:
$$ \frac{v_\perp^2}{B} = \text{const}. $$
Увеличение B ведёт к росту v⟂ и, при сохранении полной энергии, к уменьшению v∥. При достижении v∥ = 0 происходит отражение частицы — зеркальный эффект. Это лежит в основе принципа магнитной ловушки, применяемой, например, в установках для управляемого термоядерного синтеза.
Дрейфы в неоднородных полях
Если магнитное поле слабо неоднородно, возникает дрейфовая скорость, отличная от E × B. Дрейф, связанный с градиентом поля:
$$ \mathbf{v}_{\nabla B} = \frac{m v_\perp^2}{2 q B^3} (\mathbf{B} \times \nabla B). $$
Аналогично возникает дрейф при искривлении силовых линий магнитного поля, называемый криволинейным дрейфом.
Собственные колебания и резонансные эффекты
Если электромагнитное поле содержит компоненты с частотой, совпадающей с циклотронной частотой частицы, возникает резонансное поглощение энергии. Это используется, например, в методе электронного циклотронного нагрева в плазменной физике.
При учёте колебательных компонент полей можно исследовать параметрические резонансы, стоячие и бегущие волны и их взаимодействие с заряженными частицами.
Гамильтонов формализм
Движение заряженной частицы можно формулировать с использованием гамильтониана:
$$ H = \frac{1}{2m} \left( \mathbf{p} - q \mathbf{A} \right)^2 + q \phi, $$
где ϕ — скалярный потенциал, A — векторный потенциал. Канонические уравнения Гамильтона:
$$ \dot{\mathbf{r}} = \frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}}, \quad \dot{\mathbf{p}} = -\frac{\partial H}{\partial \mathbf{r}}. $$
Эта формулировка особенно полезна при квантовании, в задачах о магнитных подрешётках, квазиклассическом приближении, анализе симметрий и инвариантов.
Квантово-механические аспекты
В квантовой теории одночастичное движение в магнитном поле приводит к квантованию уровней энергии — ланжевеновским уровням (уровни Ландау). В однородном магнитном поле:
$$ E_n = \hbar \omega_c \left(n + \frac{1}{2}\right), \quad n = 0, 1, 2, \ldots $$
Такие уровни лежат в основе квантового эффекта Холла, циклотронного резонанса и других квантовых явлений, связанных с движением заряженных частиц в магнитных полях.
Симплектическая структура и сохранение фазового объёма
Уравнения движения в электромагнитном поле обладают симплектической структурой, что ведёт к сохранению фазового объёма (теорема Лиувилля) и позволяет применять методы гамильтоновой механики и квантования в пространстве фаз. Это имеет фундаментальное значение в статистической физике и теории хаоса.