Квантовые системы в одномерном пространстве
Одномерные квантовые системы представляют собой фундаментальный класс моделей, позволяющий глубоко изучить природу квантовых явлений при минимальном числе степеней свободы. В таких системах частица ограничена движением вдоль одной координатной оси, что приводит к значительной математической и физической упрощённости, но при этом сохраняет богатую структуру квантовых эффектов. Эти модели особенно ценны в теории твердого тела, физике наноструктур, а также в квантовой теории поля в пониженной размерности.
Особенность одномерных систем — сильная выраженность квантовых флуктуаций. В отличие от более высоких размерностей, здесь они могут полностью подавить классические состояния (например, отсутствие спонтанного симметрия-нарушающего упорядочения при конечной температуре), что приводит к качественно новому поведению.
Рассмотрим классическую задачу — квантовую частицу массы m, заключённую в бесконечно глубокую потенциальную яму ширины L:
$$ V(x) = \begin{cases} 0, & 0 < x < L \\ \infty, & \text{иначе} \end{cases} $$
Решая стационарное уравнение Шрёдингера:
$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2} = E \psi $$
с граничными условиями ψ(0) = ψ(L) = 0, получаем дискретный спектр:
$$ E_n = \frac{\pi^2 \hbar^2 n^2}{2m L^2}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots $$
и собственные функции:
$$ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) $$
Таким образом, даже простейшая одномерная система демонстрирует квантование энергии и пространственную дискретность волновых функций.
Другим фундаментальным примером служит потенциальная яма с дельта-функцией:
V(x) = −αδ(x)
Это модель одномерного короткодействующего притяжения, для которой уравнение Шрёдингера имеет точное решение. Единственное связанное состояние:
$$ \psi(x) = \sqrt{\kappa} e^{-\kappa |x|}, \quad \kappa = \frac{m \alpha}{\hbar^2} $$
с энергией:
$$ E = -\frac{m \alpha^2}{2\hbar^2} $$
Эта модель используется как прототип взаимодействия в эффективных низкоразмерных теориях, моделируя сцепление частиц при короткодействующем взаимодействии.
Одномерные модели также демонстрируют важный квантовый эффект — туннелирование. Пусть частица сталкивается с потенциальным барьером:
$$ V(x) = \begin{cases} V_0, & 0 < x < a \\ 0, & \text{иначе} \end{cases} $$
Решение уравнения Шрёдингера показывает, что вероятность прохождения через барьер, даже если E < V0, ненулевая и экспоненциально убывает с ростом ширины и высоты барьера. Это приводит к квантовому эффекту проникновения сквозь классически запретные области.
Для свободной частицы в одномерии V(x) = 0, решением уравнения Шрёдингера являются плоские волны:
$$ \psi_k(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx}, \quad E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} $$
Это основа для разложения волновой функции в интеграл Фурье и анализа динамики в импульсном представлении. Одномерие приводит к важной особенности: все сечения рассеяния в одномерии конечны, даже для слабых потенциальных расстройств, что качественно отличает систему от трёхмерных аналогов.
Важной моделью является одномерный гармонический осциллятор:
$$ V(x) = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 $$
Решение уравнения Шрёдингера приводит к спектру:
$$ E_n = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2}\right), \quad n = 0, 1, 2, \ldots $$
Собственные функции выражаются через полиномы Эрмита:
$$ \psi_n(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\right) e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}} $$
Эта система важна не только как абстрактная модель, но и как приближение в окрестности минимума потенциальной ямы, а также в контексте квантовой теории поля (осцилляторы — моды квантованного поля).
Если одномерная система замкнута, то координата x подчинена условию ψ(x + L) = ψ(x). В этом случае допустимы волновые функции:
$$ \psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{L}} e^{i \frac{2\pi n}{L} x}, \quad n \in \mathbb{Z} $$
Энергетический спектр:
$$ E_n = \frac{(2\pi \hbar n)^2}{2m L^2} $$
Эта модель описывает, например, движение электрона по кольцевому квантовому проводнику и лежит в основе описания эффектов типа квантового интерферометра или эффекта Ааронов–Бома.
Особый интерес представляют взаимодействующие частицы в одномерии. Ввиду невозможности “обойти” друг друга в одномерии, взаимодействия ведут к крайне выраженной корреляции. Один из наиболее известных примеров — модель Ли–Линегра (одномерный бозонный газ с контактным взаимодействием):
$$ H = -\sum_{i=1}^N \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x_i^2} + g \sum_{i<j} \delta(x_i - x_j) $$
Эта модель интегрируема методом Бете и служит основой изучения квантовой интегрируемости. При сильном взаимодействии (g → ∞) система ведёт себя как газ фермионов — эффект фермионизации бозонов, известный как газ Тонкса–Жирардо.
В одномерии статистические различия между бозонами и фермионами могут быть частично сглажены. Известно, что преобразованием Жирардо–Бозе–Ферми можно в некоторых случаях свести бозонную систему к фермионной и наоборот. В результате поведение систем существенно зависит не столько от статистики, сколько от характера взаимодействия.
Кроме того, в одномерных системах возникают квазичастицы с промежуточной статистикой (anyon-like), особенно в контексте топологических возбуждений и краевых состояний.
Модель Тайтца, изначально разработанная для описания электронов в кристалле, в одномерии принимает вид:
H = −t∑j(cj†cj + 1 + h.c.)
Это простейшая модель свободных фермионов на решётке, которая лежит в основе понимания металлоизоляционного перехода, поляронных эффектов и теории переноса в квазиизмерениях. В случае включения взаимодействий (модель Хаббарда, модель XXZ) возникает богатая физика квантовых фаз и спиновых корреляций.
Одномерные спиновые системы, например модель Хейзенберга:
H = J∑jS⃗j ⋅ S⃗j + 1
представляют собой ещё один важнейший класс моделей. Они допускают точное решение методом Бете, демонстрируют спиновые возбуждения — спиноны — и квантовое отсутствие магнитного порядка при T = 0.
Квантовые критические точки и масштабные симметрии здесь особенно ярко проявляются: поведение систем описывается теорией конформного поля в 1+1 размерности, где центральный заряд c определяет универсальные характеристики.
Для описания возбуждений в таких системах часто применяется метод бозонизации — представление фермионных операторов через бозонные поля. Это позволяет аналитически изучать нелинейные эффекты, корреляционные функции, взаимодействие с внешними полями. Классическим примером служит теория Лютиниджера для одномерного квантового газа:
$$ H = \frac{\hbar v}{2\pi} \int dx \left[ K (\partial_x \theta)^2 + \frac{1}{K} (\partial_x \phi)^2 \right] $$
где ϕ и θ — сопряжённые бозонные поля, K — параметр взаимодействия. Теория описывает обобщённую жидкость без квазичастиц — так называемую Лютиниджеровскую жидкость, фундаментальную для понимания низкоразмерной квантовой материи.