Основные постулаты квантовой механики
Квантовомеханическое описание физической системы основывается на следующем фундаментальном утверждении: вся информация о системе содержится в её состоянии, которое представляется вектором (или, в более общем случае, элементом гильбертова пространства) — так называемым вектором состояния. Пространство этих векторов является комплексным гильбертовым пространством ℋ, наделённым скалярным произведением.
Если система находится в чистом состоянии, ей соответствует вектор |ψ⟩ ∈ ℋ, определённый с точностью до комплексного множителя единичной длины. То есть физическое состояние определяется лучом в гильбертовом пространстве:
|ψ⟩ ∼ c|ψ⟩, c ∈ ℂ, |c| = 1.
Нормировка вектора состояния имеет значение:
⟨ψ|ψ⟩ = 1.
Таким образом, состояние квантовой системы не является точечным, как в классической механике, а описывается распределением вероятностей.
Физические наблюдаемые — такие как энергия, импульс, координата и т. д. — в квантовой механике описываются самосопряжёнными (эрмитовыми) операторами Â в пространстве состояний. Это означает:
⟨ψ|Âϕ⟩ = ⟨Âψ|ϕ⟩ ∀ |ψ⟩,|ϕ⟩ ∈ ℋ.
Спектр значений таких операторов (их собственные значения) — это возможные результаты измерений соответствующих физических величин. Важно, что спектр может быть как дискретным (например, энергия связанного электрона в атоме), так и непрерывным (например, импульс свободной частицы).
Каждому эрмитову оператору Â соответствует полное множество ортонормированных собственных векторов |an⟩, удовлетворяющих уравнению:
Â|an⟩ = an|an⟩,
где an — собственные значения.
Результат измерения наблюдаемой величины A, связанной с оператором Â, может быть только одним из его собственных значений an. Вероятность того, что результатом измерения окажется значение an, равна квадрату модуля скалярного произведения вектора состояния на соответствующий собственный вектор:
P(an) = |⟨an|ψ⟩|2.
После измерения система “схлопывается” в соответствующее собственное состояние:
|ψ⟩→|an⟩.
Этот процесс называется редукцией волновой функции и носит необратимый характер.
В отсутствие измерения эволюция замкнутой квантовой системы во времени описывается уравнением Шрёдингера. Оно имеет вид:
$$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = \hat{H} |\psi(t)\rangle, $$
где Ĥ — эрмитов оператор полной энергии (гамильтониан), ℏ — приведённая постоянная Планка.
Решение этого уравнения определяет детерминированную эволюцию состояния системы во времени:
$$ |\psi(t)\rangle = \hat{U}(t, t_0) |\psi(t_0)\rangle, \quad \hat{U}(t, t_0) = \exp\left(-\frac{i}{\hbar} \hat{H} (t - t_0)\right). $$
Оператор эволюции Û(t, t0) — унитарный:
$$ \hat{U}^\dagger \hat{U} = \hat{U} \hat{U}^\dagger = \hat{1}, $$
что обеспечивает сохранение нормы волновой функции.
Если |ψ1⟩ и |ψ2⟩ — допустимые состояния квантовой системы, то их линейная комбинация
|ψ⟩ = c1|ψ1⟩ + c2|ψ2⟩
тоже является допустимым состоянием, при условии нормировки:
|c1|2 + |c2|2 = 1.
Это ведёт к интерференционным явлениям, не имеющим аналогов в классической теории. Принцип суперпозиции лежит в основе квантовых парадоксов (таких как “кот Шрёдингера”) и объясняет, почему квантовая механика по своей природе вероятностна.
В координатном представлении волновая функция ψ(x) = ⟨x|ψ⟩ описывает вероятность обнаружить частицу в окрестности точки x. Квантовые операторы при этом реализуются как дифференциальные операторы:
$$ \hat{x} \psi(x) = x \psi(x), \quad \hat{p} \psi(x) = -i\hbar \frac{d}{dx} \psi(x). $$
Эти операторы удовлетворяют соотношению коммутации:
[x̂, p̂] = iℏ,
что приводит к соотношению неопределённостей Гейзенберга:
$$ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}. $$
Импульсное представление строится аналогично, и между ними осуществляется преобразование Фурье.
В случае неполной информации о системе используется матричное описание с помощью плотностного оператора ρ̂. Он удовлетворяет условиям:
Если система находится в чистом состоянии |ψ⟩, то:
ρ̂ = |ψ⟩⟨ψ|.
Среднее значение наблюдаемой Â в состоянии ρ̂ определяется по формуле:
⟨A⟩ = Tr(ρ̂Â).
Плотностный оператор позволяет описывать статистические ансамбли и взаимодействие системы с внешней средой.
Сложные системы, состоящие из подсистем, описываются тензорным произведением гильбертовых пространств:
ℋобщ = ℋA ⊗ ℋB.
В таких системах возникают запутанные состояния, не представимые в виде произведения отдельных состояний. Пример:
$$ |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle_A \otimes |1\rangle_B + |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B). $$
Такие состояния лежат в основе квантовой телепортации, квантовой криптографии, квантовых вычислений, и одновременно вызывают споры о локальности и детерминизме квантовой теории.
Современное аксиоматическое изложение квантовой механики включает следующие утверждения:
Эти постулаты не выводимы из более фундаментальных положений и служат основанием для построения всей квантовой теории.