Перенормировка

Понятие перенормировки в квантовой теории поля

В квантовой теории поля (КТП) вычисление физических величин, таких как вероятности рассеяния, матричные элементы и корреляционные функции, осуществляется с использованием диаграмм Фейнмана. Однако при вычислении интегралов по внутренним импульсам в этих диаграммах нередко возникают расходимости — в частности, ультрафиолетовые (УФ) бесконечности при больших импульсах.

Типичным примером служит поправка к массовому члену в теории скалярного поля с самодействием, где интеграл по внутреннему импульсу логарифмически (или даже квадратично) расходится. Появление этих расходимостей не означает, что теория непригодна, а лишь указывает на необходимость более строгого подхода к определению физических величин. Это привело к разработке процедуры перенормировки — систематического метода устранения (или переопределения) бесконечностей.

Классификация типов расходимостей

В КТП различают несколько типов расходимостей:

• Ультрафиолетовые расходимости (при |p| → ∞): связаны с поведением теории на малых расстояниях или больших энергиях.
• Инфракрасные расходимости (при |p| → 0): возникают при наличии безмассовых частиц, например, фотонов.
• Коллинеарные расходимости: часто встречаются в теории КХД при взаимодействии глюонов с кварками.

Для перенормировки наиболее существенны ультрафиолетовые расходимости.

Регуляризация: введение контролируемой бесконечности

Перед тем как удалить бесконечности, их необходимо определить. Это достигается с помощью процедуры регуляризации, заключающейся во введении параметра отсечки, позволяющего временно сделать расходимости конечными. Основные методы регуляризации:

• Обрезка по импульсу (cut-off): вводится максимальный импульс Λ, выше которого интегралы не берутся.
• Размерная регуляризация (dimensional regularization): теория переносится в d = 4 − ε измерения, где интегралы сходятся при ε > 0, а затем делается аналитическое продолжение.
• Пунктирная регуляризация (Pauli–Villars): введение дополнительных виртуальных полей с большим отрицательным вкладом.

Регуляризация сама по себе не устраняет расходимости, но делает возможным их контроль.

Перенормировка: переопределение физических параметров

Ключевая идея перенормировки — переопределить параметры теории (массу, заряд, константы взаимодействия), так чтобы выражения для физических величин стали конечными. Параметры, входящие в лагранжиан, называются неперенормированными (bare parameters), обозначаются с индексом 0: m₀, g₀, Z₀ и т.д. Эти параметры не наблюдаемы напрямую.

Например, поле ϕ заменяется на перенормированное ϕ = Z^1/2ϕ_R, где Z — множитель поля. Аналогично, масса и константа взаимодействия записываются как:

m₀² = m² + δm²,  λ₀ = λ + δλ

где δm², δλ — контрчлены, которые заведомо выбираются так, чтобы они компенсировали расходимости, возникающие при вычислениях диаграмм.

Минимальная перенормировка и схема $\overline{\text{MS}}$

Существует множество схем перенормировки. Наиболее часто используемыми являются:

• On-shell схема: параметры теории определяются по наблюдаемым — масса поля задается по положению полюса пропагатора, заряд — по нормировке взаимодействия с фотоном и т.д.
• Схема минимальной субтракции (MS) и модифицированная минимальная субтракция ($\overline{\text{MS}}$): вычитаются только дивергенты, выраженные как полюса по ε в размерной регуляризации.

Схема $\overline{\text{MS}}$ особенно удобна для аналитических вычислений и широко применяется в теории КХД и при вычислении аномальных размеров.

Ренормгруппа и её уравнения

Одним из мощнейших следствий перенормировки является рекуррентная зависимость параметров от масштаба, что формализуется в уравнениях группы перенормировки. Основная идея — физические величины не должны зависеть от произвольно введённого масштабного параметра μ регуляризации:

$$ \mu \frac{d}{d\mu} \Gamma^{(n)}(p_i, g(\mu), m(\mu), \mu) = 0 $$

где Γ⁽ⁿ⁾ — n-точечная функция, g(μ), m(μ) — бегущие параметры теории. Производные по μ можно выразить через бета-функцию и аномальные размерности:

$$ \mu \frac{dg}{d\mu} = \beta(g), \quad \gamma_m = \mu \frac{d \ln m}{d\mu}, \quad \gamma_\phi = \mu \frac{d \ln Z}{d\mu} $$

Поведение бета-функции определяет фундаментальные свойства теории. Например:

• Если β(g) > 0, то константа взаимодействия растёт с увеличением энергии.
• Если β(g) < 0, то теория асимптотически свободна — взаимодействие ослабевает при больших энергиях (как в КХД).
• Нуль бета-функции соответствует фазовой инвариантности — так называемая точка фиксации (fixed point).

Перенормируемость теории: критерии и классификация

Теория называется перенормируемой, если число необходимых контрчленов конечно и не растёт с увеличением числа петель в диаграммах. Это связано с размерностью операторов в лагранжиане: только операторы с размерностью не выше 4 в 4-мерном пространстве-времени ведут к перенормируемой теории.

Теории можно классифицировать следующим образом:

• Перенормируемые: ϕ⁴-теория, квантовая электродинамика (КЭД), КХД.
• Неперенормируемые: гравитация в стандартной формулировке, нелокальные взаимодействия. Однако они могут быть интерпретированы как эффективные теории.
• Сверхперенормируемые: содержат конечное число диаграмм с расходимостями (например, теория с ϕ³ во 2D).

Эффективные теории и перенормировка

Даже неперенормируемые теории могут быть полезны как эффективные описания на низких энергиях. Их лагранжианы включают бесконечное число операторов, упорядоченных по размерности. Перенормировка возможна при систематическом включении всё более высокоразмерных членов, подавленных масштабом новой физики Λ.

Например, теория слабых взаимодействий до открытия бозонов W^±, Z⁰ рассматривалась как эффективная четырёхфермионная теория Ферми с перенормируемыми предсказаниями в пределах энергий E ≪ Λ_W ∼ 100 ГэВ.

Аномалии и нарушения симметрий при перенормировке

В процессе перенормировки возможны ситуации, когда симметрии классической теории нарушаются в квантовой теории — такие эффекты называются аномалиями. Они играют важную роль в КТП:

• Аномалия АКМ (антикоммутирующего многообразия) в теории КЭД.
• Конформные аномалии в масштабно-инвариантных теориях.
• Аномалия сохранения тока — может приводить к нарушению калибровочной инвариантности и, следовательно, делать теорию неконсистентной.

Наличие аномалий требует точного баланса фермионных контрибуторов (как, например, в Стандартной модели), чтобы сохранить калибровочную непротиворечивость.

Перенормировка в Стандартной модели и за её пределами

В рамках Стандартной модели КТП все взаимодействия — электромагнитное, слабое и сильное — описываются перенормируемыми лагранжианами. При этом перенос результатов между различными схемами требует учёта соответствующих переходных формул.

За пределами Стандартной модели перенос акцента делается на эффективные теории поля, в которых перенормировка используется для систематической организации поправок и предсказания наблюдаемых эффектов, например, в EFT-языке (Effective Field Theory) для описания нейтрино, темной материи и гравитации.

Заключительный технический акцент: мультипетлевая структура

В рамках петельных приближений (loop expansion) структура расходимостей упорядочена по числу петель. Перенормировка обеспечивает возможность определения предсказуемости теории при любом конечном числе петель. Методы, такие как алгебраическая перенормировка (BRST-симметрия), используются для анализа и классификации допустимых контрчленов при наличии калибровочных симметрий.

Таким образом, перенормировка представляет собой краеугольный камень современной квантовой теории поля, соединяющий технические аспекты вычислений с глубокими концептуальными вопросами — такими как симметрия, масштабная зависимость, фазовые переходы и предсказуемость физических теорий.