Петлевая квантовая гравитация

Основные постулаты петлевой квантовой гравитации

Петлевая квантовая гравитация (ПКГ) представляет собой попытку неконечного объединения общей теории относительности и квантовой механики, сохраняющую фоновую независимость гравитационного поля. В отличие от подходов, использующих фиксированное пространство-время (например, теория струн), ПКГ сохраняет полную ковариантность общей теории относительности. Главная цель — квантование самой геометрии пространства-времени без введения дополнительных пространственных измерений или сверхсимметрии.

Ключевые принципы ПКГ:

  • Фоновая независимость: пространство-время не задаётся априори, а является результатом динамики квантовых степеней свободы.
  • Дискретность геометрии: геометрические величины, такие как площадь и объём, обладают дискретным спектром.
  • Ковариантность и канонический формализм: формализм строится либо в канонической (гамильтоновой) форме, либо в виде сумм по историям с использованием спиновых пен.

Переменные Аштекара и канонический формализм

Для перехода к квантованию общей теории относительности используется формализм Аштекара. Он предполагает переписывание гравитационной динамики в терминах новых переменных:

  • Калибровочное SU(2)-поле Aai (аналоги калибровочных полей Янга-Миллса);
  • Плотность триад Eia, играющая роль сопряжённой импульсной переменной.

Каноническая структура формализма:

{Aai(x), Ejb(y)} = κδabδjiδ(x, y)

где κ = 8πG, i, j — индексы внутреннего SU(2) пространства, a, b — пространственные индексы.

Основные ограничения, накладываемые на физически допустимые состояния:

  • Гауссово ограничение — SU(2)-инвариантность;
  • Диффеоморфное ограничение — инвариантность относительно перестроек координат;
  • Гамильтоново ограничение — генератор времени и динамики.

Спиновая сеть и квантование геометрии

Квантовые состояния гравитационного поля в ПКГ описываются в терминах спиновых сетей — графов с рёбрами, помеченными представлениями группы SU(2), и вершинами, соединёнными интервинерами.

Каждому ребру графа соответствует квант потока геометрической информации. Например, оператор площади действует на спиновую сеть и имеет дискретный спектр:

$$ \hat{A} \sim \ell_P^2 \sum_e \sqrt{j_e(j_e + 1)} $$

где je — квантовое число спина на ребре e, ℓP — планковская длина.

Аналогично, оператор объёма, действующий на вершины графа, также имеет дискретный спектр, зависящий от интервинеров.

Динамика и спиновые пены

В каноническом формализме динамика задаётся гамильтоновым ограничением, что приводит к технически сложной реализации. Альтернативой является путь-интегральный подход, в котором рассматриваются спиновые пены — двумерные комплексы, интерполирующие между спиновыми сетями во времени.

Спиновая пена описывает эволюцию спиновой сети во времени: рёбра становятся гранями, вершины — рёбрами, а переходы между вершинами — вершинами пены. Это аналог сумм по траекториям в квантовой механике, но для квантовой геометрии.

Амплитуды спиновых пен строятся из элементарных блоков, соответствующих квантовым 4-пространствам. Эти амплитуды зависят от SU(2)-структур и задают вероятности переходов между состояниями геометрии.

Дискретное пространство-время и квантовые операторы

Операторы геометрических величин в ПКГ, таких как длина, площадь, объём, обладают дискретным спектром, что указывает на фундаментальную атомарность пространства. Эта дискретность не вводится ad hoc, а возникает естественно при квантовании переменных Аштекара.

Планковская шкала становится минимальной длиной, при которой проявляются квантовые свойства геометрии. Пространство-время перестаёт быть непрерывным многообразием и представляет собой сеть дискретных квантов, связанных структурой спиновой сети.

Петлевая космология

На базе петлевой квантовой гравитации была развита петлевая квантовая космология — применение ПКГ к симметричным (гомогенным и изотропным) космологическим моделям. В этом подходе сжимающаяся Вселенная не сталкивается с классической сингулярностью, а переходит в фазу расширения — происходит квантовый отскок (bounce).

Квантование масштабного фактора во Вселенной в петлевой космологии также приводит к дискретному спектру объёма, что фундаментально меняет поведение пространства-времени на ранних стадиях эволюции Вселенной.

Связь с другими теориями и экспериментальные аспекты

Петлевая квантовая гравитация не требует введения дополнительных пространственных измерений или суперсимметрии, в отличие от теории струн. Её построение ближе к аксиоматике общей теории относительности и обладает строгой математической структурой.

Возможные наблюдаемые последствия включают:

  • модификации спектра космологических флуктуаций;
  • квантовые гравитационные коррекции к уравнениям Фридмана;
  • возможные эффекты нарушения Лоренц-инвариантности на высоких энергиях.

Несмотря на теоретическую полноту, экспериментальная проверка остаётся крайне сложной задачей из-за малости планковских эффектов.

Математический аппарат и роль категориальной теории

ПКГ активно использует методы топологической теории поля, категориальной теории, теории представлений групп и алгебраических структур типа групп Хопфа. Строятся объекты типа тензорных категорий, комбинаторных комплексов и спиновых амплитуд, основанных на 2-комплексах и SU(2)-инвариантных элементах.

В развитии спиновых пен существенную роль играет модель Энгле-Перейра-Ровелли-Ливина (EPRL), обеспечивающая правильное классическое предельное поведение и связь с действиями типа Редже в дискретной гравитации.

Проблемы и открытые вопросы

Несмотря на прогресс, остаются фундаментальные вопросы:

  • точное определение и решение гамильтонового ограничения;
  • формулировка полного оператора времени и извлечение физического времени из фоново-независимой теории;
  • реконструкция непрерывного пространства-времени из дискретной квантовой геометрии;
  • сравнение и слияние с другими теориями квантовой гравитации.

Исследования продолжаются в направлениях симплициальной гравитации, групповых полевых теорий и категориальных подходов к квантовому пространству-времени.

Оглавление