Основные уравнения описания плазмы в магнитном поле
В присутствии магнитного поля свойства плазмы существенно изменяются по сравнению с нейтральной средой. Основное влияние магнитного поля заключается в том, что оно накладывает циклическое движение на заряженные частицы, обусловливая анизотропию их движения и токов, возникающих в плазме. Для описания плазмы в магнитном поле используются как кинетический, так и магнитогидродинамический (МГД) подходы, в зависимости от масштабов и интересующих процессов.
Одночастичное движение в магнитном поле
Рассмотрим движение заряженной частицы с зарядом q и массой m в постоянном однородном магнитном поле B = Bẑ. Уравнение Лоренца:
$$ m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = q\mathbf{v} \times \mathbf{B} $$
Решение показывает, что частица движется по спирали вдоль направления магнитного поля. Поперечное движение — круговое с частотой циклотронного вращения:
$$ \omega_c = \frac{|q|B}{m} $$
и радиусом Лармора:
$$ \rho = \frac{v_\perp}{\omega_c} $$
где v⟂ — составляющая скорости, перпендикулярная B.
Движение вдоль поля свободное, то есть v∥ = const. Таким образом, в однородном поле траектория — винтовая линия с осью вдоль B.
Силы, действующие на плазму в магнитном поле
Среднее движение плазмы определяется уравнением движения:
$$ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} \right) = \mathbf{J} \times \mathbf{B} - \nabla p + \rho \mathbf{g} + \mathbf{F}_\text{дисс} $$
Здесь:
Сила Лоренца J × B играет ключевую роль: она может как сдерживать, так и ускорять движение плазмы, в зависимости от конфигурации поля и тока.
Анизотропия давления и тензор давления
В магнитном поле из-за ограниченного поперечного движения и свободного вдоль поля давление становится тензорной величиной. В кинетическом приближении:
Pij = m∫(vi − ui)(vj − uj)f(v)d3v
где f(v) — функция распределения, u — средняя скорость. При сильном магнитном поле возможна ситуация p∥ ≠ p⟂, что приводит к возникновению дополнительных эффектов — зеркального инстабильности, возмущений типа «огненного шеста» и т. д.
Магнитогидродинамическое приближение
В МГД описании плазма рассматривается как проводящая жидкость. Основные уравнения:
$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 $$
$$ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \mathbf{J} \times \mathbf{B} $$
$$ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) - \nabla \times (\eta \nabla \times \mathbf{B}) $$
E + v × B = ηJ
Здесь η — удельное сопротивление плазмы. В пределе идеальной плазмы η → 0 получается уравнение «замерзания» магнитного поля в плазму.
Эффект замерзания магнитного поля
В идеальной МГД плазме магнитное поле переносится с плазмой как единое целое. Это означает, что силовые линии магнитного поля следуют за движением вещества. Это приводит к таким явлениям, как магнитная конфигурация токов и «магнитная адгезия» между различными объемами плазмы.
Поперечные токи и дрейфы в магнитном поле
Важным следствием присутствия магнитного поля является существование дрейфовых скоростей. Например:
$$ \mathbf{v}_{E} = \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{B}}{B^2} $$
Он одинаков для ионов и электронов — не создаёт тока.
$$ \mathbf{v}_{\nabla B} = \frac{mv_\perp^2}{2qB^3} (\mathbf{B} \times \nabla B) $$
$$ \mathbf{v}_C = \frac{mv_\parallel^2}{qB^2} \frac{\mathbf{B} \times (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{B}}{B^2} $$
Суммарные эффекты от дрейфов приводят к токам, не обусловленным полным переносом массы.
Хвостовые токи, диамагнитные и полоидальные токи
В магнитоограниченных плазмах (например, токамаках) возникают диамагнитные токи вследствие поперечных градиентов давления:
$$ \mathbf{J}_\text{dia} = \frac{\mathbf{B} \times \nabla p}{B^2} $$
Эти токи приводят к изменению конфигурации магнитного поля, в частности, к возникновению тороидального поля, самоподдерживаемого током в плазме.
Альфвеновские волны
В магнитоактивной плазме важны возмущения, распространяющиеся вдоль магнитного поля — альфвеновские волны. Скорость их распространения:
$$ v_A = \frac{B}{\sqrt{\mu_0 \rho}} $$
Это поперечные волны, в которых частицы колеблются перпендикулярно как к направлению магнитного поля, так и к направлению распространения.
Конфигурации магнитного удержания
Для управления и удержания горячей плазмы в термоядерных установках применяются конфигурации:
Во всех случаях цель — удержать плазму в объёме, компенсируя давление за счёт магнитных сил.
Инстабильности в магнитной плазме
Наличие магнитного поля может как стабилизировать, так и вызывать нестабильности. Примеры:
Описываются они решением уравнений МГД с возмущениями и соответствующим спектральным анализом.
Реконнекция магнитного поля
При наличии сопротивления и соответствующих условий возможна реконнекция — разрыв и слияние силовых линий. Это сопровождается выделением энергии и ускорением частиц. Механизм играет важную роль в солнечных вспышках, магнитосферных бурях и во многих астрофизических явлениях.
Формирование двойных слоёв и структур тока
В неоднородной плазме возможны области с резкими градиентами потенциала и плотности тока — двойные электрические слои, часто сопровождающиеся ускорением частиц. Они наблюдаются как в лабораторных экспериментах, так и в ионосфере, астрофизике, вблизи шоков и границ магнитосферы.
Роль магнитного поля в астрофизике и космической плазме
Магнитные поля играют фундаментальную роль в динамике солнечного ветра, плазмы в галактических масштабах, в аккреции, джетах, вспышках и во многих других феноменах. Плазма в межзвёздной среде, как правило, обладает высоким магнитным числом Рейнольдса и хорошо проводит ток, поэтому используется МГД-аппроксимация.
Эти явления, уравнения и физические эффекты являются фундаментальными для понимания поведения плазмы в магнитных полях и служат основой как для теоретических исследований, так и для прикладных задач в термоядерной энергетике, астрофизике, космической физике и технологии управляемого синтеза.