Энергетическая структура полупроводников
В теоретической физике полупроводники рассматриваются как кристаллические твердые тела, в которых зона проводимости и валентная зона разделены запрещённой зоной (зонным зазором) небольшой ширины. В отличие от металлов, где валентная зона перекрывается с зоной проводимости, в полупроводниках при температуре 0 К зона проводимости пуста. При повышении температуры электроны получают достаточную тепловую энергию, чтобы преодолеть запрещённую зону и перейти в зону проводимости, создавая при этом пары “электрон-дыра”. Эта особенность обуславливает температурную зависимость электрических свойств полупроводников.
Ширина запрещённой зоны Eg составляет от долей до нескольких электрон-вольт и определяет ключевые физические параметры материала. Например, в кремнии Eg ≈ 1.1 эВ, в германии — около 0.7 эВ, в арсениде галлия — порядка 1.4 эВ.
Эффективная масса и приближение зонной теории
Для описания движения носителей заряда в полупроводнике используется приближение эффективной массы, в котором электрон рассматривается как квазичастица, движущаяся в периодическом потенциале кристаллической решётки. Энергетический спектр в окрестности минимума зоны проводимости и максимума валентной зоны аппроксимируется параболой:
$$ E_c(\mathbf{k}) = E_c + \frac{\hbar^2 k^2}{2m_e^*}, \quad E_v(\mathbf{k}) = E_v - \frac{\hbar^2 k^2}{2m_h^*} $$
где me* и mh* — эффективные массы электрона и дырки соответственно. Эти параметры существенно влияют на плотность состояний, подвижность и тепловые свойства носителей заряда.
Плотность состояний и концентрация носителей
Плотность состояний в зоне проводимости при параболической дисперсии:
$$ g_c(E) = \frac{1}{2\pi^2} \left( \frac{2m_e^*}{\hbar^2} \right)^{3/2} \sqrt{E - E_c}, \quad E > E_c $$
Аналогично, в валентной зоне:
$$ g_v(E) = \frac{1}{2\pi^2} \left( \frac{2m_h^*}{\hbar^2} \right)^{3/2} \sqrt{E_v - E}, \quad E < E_v $$
Концентрация электронов в зоне проводимости:
n = ∫Ec∞gc(E)f(E) dE
Концентрация дырок в валентной зоне:
p = ∫−∞Evgv(E)[1 − f(E)] dE
При условии невыраженной вырождения (невысокие концентрации), можно воспользоваться приближением Максвелла-Больцмана:
$$ n = N_c \exp\left( -\frac{E_c - \mu}{k_B T} \right), \quad p = N_v \exp\left( -\frac{\mu - E_v}{k_B T} \right) $$
где μ — химический потенциал (уровень Ферми), Nc и Nv — эффективные плотности состояний в зонах:
$$ N_c = 2 \left( \frac{2\pi m_e^* k_B T}{h^2} \right)^{3/2}, \quad N_v = 2 \left( \frac{2\pi m_h^* k_B T}{h^2} \right)^{3/2} $$
Внутренние полупроводники и уровень Ферми
В чистом (внутреннем) полупроводнике концентрации электронов и дырок равны: n = p = ni. Тогда:
$$ n_i^2 = n \cdot p = N_c N_v \exp\left( -\frac{E_g}{k_B T} \right) $$
Положение уровня Ферми определяется из условия n = p. При этом:
$$ \mu = \frac{E_c + E_v}{2} + \frac{3}{4}k_B T \ln\left( \frac{m_h^*}{m_e^*} \right) $$
Примесные полупроводники
Введение донорных или акцепторных примесей существенно изменяет концентрацию носителей заряда. В n-типа полупроводниках доминируют электроны, поставляемые донорами, а в p-типа — дырки от акцепторов.
Для донорной примеси с уровнем энергии ED, близкой к зоне проводимости:
$$ n \approx N_D, \quad \mu \approx E_c - k_B T \ln \left( \frac{N_c}{N_D} \right) $$
Если ND ≫ ni, концентрация электронов определяется числом ионизированных доноров, а химический потенциал смещается ближе к зоне проводимости.
Аналогично, для акцепторов с уровнем EA, близким к валентной зоне:
$$ p \approx N_A, \quad \mu \approx E_v + k_B T \ln \left( \frac{N_v}{N_A} \right) $$
Электропроводность и подвижность
Проводимость полупроводника:
σ = e(nμn + pμp)
где μn, μp — подвижности электронов и дырок соответственно. Эти величины зависят от рассеяния носителей на фононах, примесях и дефектах решётки. При низких температурах основное рассеяние — на ионных примесях, при высоких — на фононах. Температурная зависимость подвижности:
μ ∼ T−3/2 (фононное рассеяние), μ ∼ T3/2 (ионное рассеяние)
Контакт p-n и диодные свойства
При создании гетерогенной области между p- и n-типом возникает p-n переход, играющий ключевую роль в полупроводниковой электронике. Из-за диффузии носителей формируется обеднённая область, в которой возникает внутреннее электрическое поле.
Напряжение, соответствующее внутреннему равновесию:
$$ V_0 = \frac{k_B T}{e} \ln \left( \frac{N_D N_A}{n_i^2} \right) $$
Прямое и обратное включение p-n перехода вызывает экспоненциальную зависимость тока от приложенного напряжения:
I = I0(eeV/kBT − 1)
где I0 — ток насыщения, зависящий от температурных условий и диффузионных длин носителей.
Эффекты квантового ограничения
В наноструктурах (квантовые ямы, проволоки, точки) наблюдаются отклонения от классической зонной теории. Квантование движения носителей в ограниченных геометриях приводит к дискретизации уровней энергии и изменению плотности состояний. В квантовой яме плотность состояний принимает форму ступенчатой функции:
g(E) ∝ ∑nΘ(E − En)
Эти эффекты лежат в основе работы современных полупроводниковых лазеров, светодиодов и транзисторов на полевых эффектах.
Законы сохранения и рекомбинационные процессы
Обращённые к генерации процессы — рекомбинация — снижают концентрацию носителей. Различают радиационную, нерезонансную (Шокли-Рида-Холла) и аuger-рекомбинации. Важной характеристикой является время жизни неравновесных носителей:
$$ \frac{dn}{dt} = -\frac{n - n_0}{\tau} $$
где τ — характерное время релаксации к равновесию. Механизмы рекомбинации определяют работу фотоприёмников, солнечных элементов, светодиодов.
Фотопроводимость и эффекты внешних полей
Под действием света с энергией выше Eg происходит генерация дополнительных пар электрон-дыра, увеличивая проводимость. Это явление лежит в основе фотоприёмников. В сильных электрических полях возможен эффект лавинного пробоя — резкий рост тока из-за ударной ионизации.
В магнитном поле носители отклоняются силой Лоренца, что проявляется в эффекте Холла. Он позволяет определить знак и концентрацию носителей:
$$ R_H = \frac{1}{q n}, \quad E_H = R_H j B $$
Здесь RH — постоянная Холла, j — плотность тока, B — магнитное поле.
Тепловые эффекты и эффект Зеебека
При наличии градиента температуры возникает термо-ЭДС:
ℰ = −S∇T
где S — коэффициент Зеебека. Его знак и величина чувствительны к типу носителей и их распределению. Полупроводники часто обладают высоким термоэлектрическим откликом, особенно в легированных структурах с оптимизированной теплопроводностью и подвижностью.
Моделирование и численные методы
Современная теоретическая физика полупроводников опирается на численное моделирование: решение уравнений Пуассона, непрерывности, дрейф-диффузионных уравнений. Используются методы Монте-Карло, численные схемы конечных разностей и элементы теории функционалов плотности для микроскопического описания электронных состояний.
Эти подходы позволяют проектировать полупроводниковые приборы на уровне отдельных атомов и учитывать квантово-механические и нелинейные эффекты, что критически важно в современной микро- и наноэлектронике.