Рассмотрим два инерциальных отсчёта: систему S, связанную с «неподвижным» наблюдателем, и систему S′, движущуюся вдоль оси x со скоростью v относительно S. Предполагается, что оси x и x′ совпадают в направлении, а координатные начала систем совпадают в момент времени t = t′ = 0. Основная задача — установить взаимно-однозначные преобразования координат и времени между системами, согласующиеся с двумя постулатами специальной теории относительности:
Поскольку законы физики должны сохранять структуру (например, однородность и изотропность пространства и времени), преобразования между координатами (x, y, z, t) и (x′, y′, z′, t′) должны быть линейными. Это означает, что преобразования имеют вид:
$$ \begin{cases} x' = \gamma (x - v t) \\ y' = y \\ z' = z \\ t' = \gamma \left(t - \dfrac{v}{c^2} x \right) \end{cases} $$
где γ — безразмерный коэффициент Лоренца, зависящий от скорости v, определяемый из условия сохранения инвариантности интервала.
Потребуем, чтобы интервал между двумя событиями был инвариантом преобразования. Пространственно-временной интервал в метрике Минковского:
s2 = c2t2 − x2 − y2 − z2 = c2t′2 − x′2 − y′2 − z′2
Для преобразований, линейных по x и t, и тривиальных по y и z, требуется:
c2t2 − x2 = c2t′2 − x′2
Подставляя выражения x′ и t′, находим:
$$ c^2 \gamma^2 \left(t - \dfrac{v}{c^2} x\right)^2 - \gamma^2 (x - v t)^2 = c^2 t^2 - x^2 $$
Упрощая и приравнивая коэффициенты, получаем:
$$ \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} $$
Таким образом, окончательные преобразования Лоренца имеют форму:
$$ \boxed{ \begin{cases} x' = \dfrac{x - v t}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \\ t' = \dfrac{t - \dfrac{v}{c^2} x}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \\ y' = y \\ z' = z \end{cases} } $$
Поскольку симметрия требует, чтобы при переходе от S′ к S преобразования имели такую же форму с заменой v → −v, легко получить:
$$ \boxed{ \begin{cases} x = \dfrac{x' + v t'}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \\ t = \dfrac{t' + \dfrac{v}{c^2} x'}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \\ y = y' \\ z = z' \end{cases} } $$
В теории относительности события рассматриваются как точки в четырёхмерном пространстве Минковского с координатами (ct, x, y, z). Инвариантный интервал между двумя событиями:
s2 = c2(t2 − t1)2 − (x2 − x1)2 − (y2 − y1)2 − (z2 − z1)2
играет ту же роль, что расстояние в евклидовом пространстве в классической механике. Преобразования Лоренца — это аналог поворотов в пространстве Минковского, сохраняющих метрику.
Преобразования Лоренца образуют непрерывную группу преобразований — Лоренц-группу. При ограничении движения вдоль оси x, можно записать преобразование в матричной форме:
$$ \begin{pmatrix} ct' \\ x' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma \dfrac{v}{c} \\ -\gamma \dfrac{v}{c} & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \\ x \end{pmatrix} $$
Такой подход даёт удобство при компоновке нескольких последовательных преобразований.
Пусть в системе S′ два события происходят в одной точке (Δx′ = 0). Тогда из преобразования времени:
Δt = γΔt′
что означает, что интервал времени между событиями в неподвижной системе длиннее, чем в движущейся: часы в движущейся системе идут медленнее.
Рассмотрим длину L′, измеренную в системе S′, где стержень покоится. В системе S, движущейся относительно S′, измеренная длина L будет:
$$ L = \dfrac{L'}{\gamma} $$
то есть: движущийся объект короче вдоль направления движения.
Пусть в системе S два события происходят одновременно: t1 = t2, но в разных точках x1 ≠ x2. В системе S′:
$$ \Delta t' = \gamma \left( \Delta t - \dfrac{v}{c^2} \Delta x \right) = -\gamma \dfrac{v}{c^2} \Delta x \neq 0 $$
Одновременность является относительным понятием, зависящим от системы отсчёта.
До появления СТО одна из главных проблем заключалась в несовместимости уравнений Максвелла с преобразованиями Галилея. Под действием преобразований Лоренца уравнения Максвелла сохраняют свою форму, что подтверждает корректность выбора лоренцевой симметрии. Это также сыграло ключевую роль в историческом развитии СТО.
Введём четырёхмерные координаты:
xμ = (ct, x, y, z), x′μ = Λμνxν
где Λμν — матрица преобразования Лоренца. Условие сохранения интервала:
ημνxμxν = ηαβx′αx′β
где ημν = diag(1, −1, −1, −1) — метрика Минковского.
Требование ΛTηΛ = η определяет структуру лоренцевых преобразований и их принадлежность к группе O(1, 3), а при сохранении ориентации времени — к SO+(1, 3).
Переход к релятивистской механике требует обобщения понятий скорости и импульса:
Четырёх-импульс:
$$ p^\mu = m u^\mu = m \dfrac{dx^\mu}{d\tau} $$
где uμ — четырёх-скорость, τ — собственное время.
Компоненты четырёх-импульса:
$$ p^\mu = \left( \dfrac{E}{c}, p_x, p_y, p_z \right) $$
Инвариантность:
pμpμ = m2c2 ⇒ E2 = p2c2 + m2c4
Тензор электромагнитного поля Fμν преобразуется по лоренцевым правилам:
F′μν = ΛμαΛνβFαβ
Это определяет, как электрические и магнитные поля трансформируются при смене системы отсчёта, связывая их в единый тензорный объект.
Преобразования Лоренца — фундаментальный элемент специальной теории относительности, на которых базируются релятивистская механика, теория поля и современные представления о пространстве-времени.