Слабый принцип эквивалентности утверждает, что инерционная и гравитационная массы тождественны: траектория свободного падения частицы в гравитационном поле не зависит от её массы и внутренней структуры. Это утверждение эмпирически подтверждено с высокой точностью (эксперименты Этвёша, Дикке и др.) и лежит в основе классической механики Галилея и ньютоновской теории гравитации.
Математически принцип формулируется как:
mинерц = mграв
Из этого следует, что ускорение тела в гравитационном поле одинаково для всех тел, независимо от их массы:
a⃗ = g⃗
Эйнштейн расширил слабый принцип, сформулировав принцип локальной неотличимости гравитации от ускорения. Он утверждает:
В любой достаточно малой области пространства-времени эффекты гравитации можно устранить переходом к локальной инерциальной системе координат.
Это означает, что локально — в пределах малой области — невозможно экспериментально отличить гравитационное поле от ускоренного движения. Любой наблюдатель, находящийся в свободном падении, не чувствует действия гравитации и находится в инерциальной системе отсчёта.
Следствие: гравитация — не сила в классическом смысле, а проявление геометрии пространства-времени. Частица свободно падает по геодезической линии в искривлённом пространстве Минковского.
Общая ковариантность означает, что физические уравнения сохраняют свою форму при произвольной (гладкой и обратимой) замене координат. Это фундаментальное требование теории относительности Эйнштейна. В частности, в общей теории относительности (ОТО) используется тензорное исчисление, позволяющее формулировать уравнения в ковариантной форме:
$$ G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$
где Gμν — тензор Эйнштейна, описывающий геометрию пространства-времени, Tμν — тензор энергии-импульса материи, G — гравитационная постоянная, c — скорость света.
Таким образом, ОТО удовлетворяет требованиям общей ковариантности: все физические объекты описываются тензорами и инвариантными уравнениями.
В ОТО траектория свободно падающего тела описывается уравнением геодезической:
$$ \frac{d^2 x^\mu}{d \tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu\rho} \frac{dx^\nu}{d\tau} \frac{dx^\rho}{d\tau} = 0 $$
где Γνρμ — символы Кристоффеля, зависящие от метрики gμν, а τ — собственное время. Это уравнение показывает, что траектория определяется геометрией (метрикой) пространства-времени, а не внешней силой.
Таким образом, гравитация интерпретируется как проявление искривления пространства-времени, вызванного присутствием материи и энергии.
Принцип эквивалентности позволяет утверждать, что в малой окрестности любой точки пространства-времени можно выбрать координаты (сопутствующие падающему наблюдателю), в которых:
Однако, кривизна пространства (кривизна Римана) сохраняется и не может быть устранена локально.
Принцип эквивалентности имеет множество подтверждений:
Эти эффекты не могут быть объяснены ньютоновской гравитацией, но естественно следуют из геометрического описания гравитации в ОТО.
Формулировка ОТО требует указания источника гравитации. Это — тензор энергии-импульса Tμν, включающий:
Уравнения Эйнштейна:
$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$
где Rμν — тензор Риччи, R — скалярная кривизна. Эти уравнения связывают геометрию пространства-времени с его содержимым. Уравнения являются ковариантными относительно любых координатных преобразований.
Общая теория относительности выводится из принципа наименьшего действия. Действие гравитационного поля:
$$ S = \frac{c^3}{16\pi G} \int R \sqrt{-g} \, d^4x + S_\text{материи} $$
Вариация по gμν приводит к уравнениям Эйнштейна. Это подчёркивает тесную связь между симметриями и уравнениями движения: общая ковариантность — это симметрия, которая приводит к тождествам Беллa (аналог закона сохранения энергии-импульса).
С точки зрения современной физики, общая ковариантность рассматривается как калибровочная симметрия: она аналогична локальной симметрии в теории Янга–Миллса. Однако в отличие от внутренних симметрий, общая ковариантность связана с самой структурой пространства-времени. Символы Кристоффеля можно интерпретировать как “калибровочные поля”, а метрика gμν — как аналог потенциала.
Законы преобразования для тензоров: при переходе к новой системе координат тензорные величины трансформируются по определённым правилам, сохраняющим их физическое содержание.
Ковариантная производная: для сохранения тензорного характера уравнений вводится ковариантная производная ∇μ, удовлетворяющая:
∇λgμν = 0
Символы Кристоффеля:
$$ \Gamma^\lambda_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\rho} \left( \partial_\mu g_{\nu\rho} + \partial_\nu g_{\mu\rho} - \partial_\rho g_{\mu\nu} \right) $$
Тензор Римана:
R σμνρ = ∂μΓνσρ − ∂νΓμσρ + ΓμλρΓνσλ − ΓνλρΓμσλ
Эти конструкции определяют полную информацию о кривизне и геометрической структуре пространства-времени.
Принцип эквивалентности лежит в основе:
Таким образом, принцип эквивалентности и общая ковариантность — краеугольные камни геометрической картины мира, в которой гравитация перестаёт быть силой и становится проявлением искривлённой геометрии пространства-времени.