Принципы Ньютона и лагранжев формализм

Ньютоновская механика и переход к лагранжевому формализму

В классической механике центральным понятием является второй закон Ньютона, формулируемый как:

F⃗ = ma⃗

где F⃗ — сила, действующая на материальную точку, m — её масса, a⃗ — ускорение. Этот закон устанавливает количественную связь между внешним воздействием и откликом тела, выражаемым через ускорение. Все остальные принципы ньютоновской механики — инерциальность, суперпозиция, третий закон — либо уточняют, либо поддерживают этот фундамент.

Однако при решении задач с несколькими телами, с ограничениями или при переходе к полевым описаниям ньютоновский подход становится громоздким и неуниверсальным. Это требует перехода к более общему математическому формализму, способному описывать системы с произвольными связями и симметриями.

Принцип виртуальных перемещений

Для построения более общего формализма вводится понятие виртуальных перемещений — бесконечно малых изменений конфигурации системы, совместимых с наложенными связями. Пусть система характеризуется обобщёнными координатами qi, i = 1, 2, …, s. Тогда виртуальное перемещение δr⃗j j-й материальной точки выражается через вариации δqi:

$$ \delta \vec{r}_j = \sum_{i=1}^s \frac{\partial \vec{r}_j}{\partial q_i} \delta q_i $$

Принцип Даламбера утверждает, что сумма сил инерции и активных сил, спроектированных на допустимые виртуальные перемещения, равна нулю:

$$ \sum_{j} ( \vec{F}_j - m_j \ddot{\vec{r}}_j ) \cdot \delta \vec{r}_j = 0 $$

Этот принцип, в сочетании с аналитическим выражением виртуальных перемещений, ведёт к уравнениям Лагранжа первого рода.

Обобщённые координаты и степени свободы

Одним из ключевых преимуществ лагранжевой механики является использование обобщённых координат qi, позволяющих описывать систему в терминах её независимых степеней свободы, не привязываясь к конкретной геометрии. В этом подходе ограничения учитываются автоматически при выборе соответствующего набора qi.

Число обобщённых координат определяется как разность между числом степеней свободы системы без ограничений и числом независимых связей. Таким образом, лагранжева формализация позволяет перейти от рассмотрения векторов силы и ускорения к скалярным функциям энергии и действия.

Кинетическая энергия и лагранжиан

Центральным объектом в лагранжевом формализме является лагранжиан:

L(qi, q̇i, t) = T(qi, q̇i, t) − V(qi, t)

где T — кинетическая энергия, V — потенциальная энергия. Заметим, что в отличие от ньютоновской формулировки, лагранжиан использует скалярные функции, что обеспечивает инвариантность при выборе координат.

Кинетическая энергия системы записывается как:

$$ T = \sum_{j} \frac{1}{2} m_j \dot{\vec{r}}_j^2 $$

где $\dot{\vec{r}}_j$ выражается через обобщённые координаты и их производные:

$$ \dot{\vec{r}}_j = \sum_{i=1}^s \frac{\partial \vec{r}_j}{\partial q_i} \dot{q}_i + \frac{\partial \vec{r}_j}{\partial t} $$

Это позволяет выразить T как квадратичную форму по q̇i с коэффициентами, зависящими от qi и t.

Уравнения Лагранжа второго рода

Применение принципа наименьшего действия или принципа Даламбера приводит к уравнениям Лагранжа второго рода:

$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0,\quad i=1, \dots, s $$

Эти уравнения дают полный набор дифференциальных уравнений движения системы в обобщённых координатах. Они автоматически учитывают идеальные стационарные связи и обладают важными свойствами:

  • сохраняют вид при переходе к новым обобщённым координатам;
  • допускают систематическое включение обобщённых сил;
  • легко расширяются до релятивистских и квантовых теорий.

Связи, обобщённые силы и лагранжиан с внешними воздействиями

Если на систему действуют силы, не сводимые к потенциальным (например, силы трения, активного управления), то вводятся обобщённые силы Qi, определяемые как:

$$ Q_i = \sum_{j} \vec{F}_j \cdot \frac{\partial \vec{r}_j}{\partial q_i} $$

Уравнения Лагранжа с обобщёнными силами имеют вид:

$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = Q_i $$

Это позволяет описывать более широкий класс систем, включая неконсервативные и управляемые.

Инвариантность лагранжевой функции и закон сохранения энергии

Если лагранжиан не зависит явно от времени:

$$ \frac{\partial L}{\partial t} = 0 $$

то из уравнений Лагранжа следует сохранение полной энергии E системы:

$$ E = \sum_i \dot{q}_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - L $$

Это выражение представляет собой интеграл движения, возникающий в силу симметрии лагранжиана относительно сдвига по времени. Обобщение этой идеи приводит к теореме Нётер, согласно которой каждой непрерывной симметрии лагранжиана соответствует закон сохранения.

Примеры лагранжевой формализации

1. Материальная точка в поле тяжести

Для точки массы m в однородном поле тяжести:

$$ L = \frac{1}{2}m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) - mgz $$

Уравнения Лагранжа:

$$ m\ddot{x} = 0,\quad m\ddot{y} = 0,\quad m\ddot{z} = -mg $$

2. Маятник на нити

Для простого маятника длины l, координата — угол θ:

$$ L = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 - mgl \cos\theta $$

Уравнение движения:

$$ \frac{d}{dt}(ml^2 \dot{\theta}) + mgl \sin\theta = 0 \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta} + \frac{g}{l} \sin\theta = 0 $$

Преимущества лагранжевой формулировки

  • Универсальность: применима к механическим, электромагнитным и квантовым системам;
  • Естественное включение связей: через выбор обобщённых координат;
  • Простота симметрий: позволяет сразу выделять интегралы движения;
  • Обобщаемость: на релятивистские теории и поля.

Таким образом, лагранжев формализм представляет собой обобщённую и элегантную структуру, позволяющую систематически выводить уравнения движения физических систем, анализировать их свойства, проводить редукции и устанавливать фундаментальные принципы сохранения.

Оглавление