Рассмотрим однородную и изотропную среду, в которой возмущения распространяются с конечной скоростью. Для описания таких процессов используется волновое уравнение. В одной пространственной размерности оно имеет вид:
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, $$
где u(x, t) — функция, описывающая возмущение (например, смещение, давление или электрическое поле), v — скорость распространения волны. Это гиперболическое уравнение второго порядка, отражающее принцип причинности: влияние распространяется не мгновенно, а с конечной скоростью.
Общее решение одномерного волнового уравнения даётся формулой д’Аламбера:
u(x, t) = f(x − vt) + g(x + vt),
где функции f и g определяются начальными условиями и описывают две волны, движущиеся в противоположных направлениях.
В трехмерном случае волновое уравнение записывается как:
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \nabla^2 u, $$
где ∇2 — оператор Лапласа. Решения уравнения могут иметь вид плоских, сферических или цилиндрических волн. Например, плоская монохроматическая волна описывается выражением:
u(r⃗, t) = Aei(k⃗ ⋅ r⃗ − ωt),
где k⃗ — волновой вектор, ω — круговая частота, A — амплитуда волны. Условие дисперсионной зависимости:
ω = v|k⃗|.
Это соотношение показывает, что в недисперсионной среде скорость волны не зависит от её частоты.
Плотность энергии волны в механических и электромагнитных системах пропорциональна квадрату амплитуды:
w ∝ u2.
Плотность потока энергии (вектор Пойнтинга или аналогичный ему в механике) выражается как:
S⃗ = w ⋅ v⃗ф,
где v⃗ф — фазовая скорость. Для плоской волны поток энергии направлен вдоль вектора k⃗.
Если скорость распространения волны зависит от её частоты, говорят о дисперсионной среде. Тогда ω = ω(k), и фазовая и групповая скорости различаются:
$$ v_{\text{ф}} = \frac{\omega}{k}, \quad v_{\text{гр}} = \frac{d\omega}{dk}. $$
Групповая скорость характеризует скорость передачи энергии и огибающей волны. В дисперсионной среде возможны такие явления, как интерференция и рассеяние волновых пакетов.
В реальных средах присутствуют потери, и волна затухает. Такое поведение описывается введением комплексного волнового числа:
k = k′ + ik″,
где k″ > 0 отвечает за экспоненциальное затухание:
u(x, t) ∝ ei(k′x − ωt)e−k″x.
Коэффициент поглощения зависит от физических свойств среды, в том числе вязкости, электропроводности и других характеристик.
Пусть волна падает под углом на границу двух сред с различными свойствами. Тогда, согласно законам сохранения, часть волны отражается, а часть — преломляется. Основные соотношения:
$$ \frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{v_1}{v_2}, $$
где v1, v2 — скорости в первой и второй средах соответственно.
Коэффициенты отражения и прохождения определяются из граничных условий непрерывности (например, смещения и напряжений в механике, электрического и магнитного полей в электродинамике).
Интерференция — наложение нескольких волн, приводящее к усилению или ослаблению амплитуды в зависимости от фазового сдвига:
u = u1 + u2 ⇒ |u|2 ≠ |u1|2 + |u2|2.
Явление наблюдается при когерентных источниках волн. В интерференционной картине возможны максимумы и минимумы интенсивности.
Дифракция — огибание волной препятствий и проникновение в область геометрической тени. Описывается принципом Гюйгенса — каждая точка волнового фронта является источником вторичных волн. Вблизи препятствий и узких щелей волновой фронт искажается, образуя характерную дифракционную картину.
В упругой изотропной среде возможны два основных типа волн:
Скорости этих волн различаются и определяются параметрами Ламе:
$$ v_p = \sqrt{\frac{\lambda + 2\mu}{\rho}}, \quad v_s = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}, $$
где λ, μ — параметры Ламе, ρ — плотность среды.
В идеальных несжимаемых жидкостях поддерживаются только продольные волны (звуковые). В вязких жидкостях возможны затухающие поперечные колебания. В газах также распространяются звуковые волны, скорость которых определяется уравнением:
$$ v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}} = \sqrt{\gamma R T}, $$
где γ — показатель адиабаты, P — давление, T — температура, R — универсальная газовая постоянная.
Плазма, как ионизированная среда, поддерживает множество типов волн:
Динамика описывается системой уравнений МГД, объединяющей гидродинамику и уравнения Максвелла.
В волноводах (металлических или диэлектрических структурированных каналах) возможны моды — устойчивые формы распространения волн, определяемые граничными условиями и геометрией.
Для каждой моды существует своя критическая частота, ниже которой волна не распространяется. Распределение поля в волноводе определяется уравнением Гельмгольца с соответствующими граничными условиями.
В нелинейных средах линейная суперпозиция неприменима, и волны могут взаимодействовать. При определённой компенсации нелинейности и дисперсии возникает устойчивый волновой импульс — солитон, который сохраняет форму при распространении и столкновениях. Такие решения возможны, например, в уравнении Кортевега — де Фриза:
$$ \frac{\partial u}{\partial t} + 6u \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3 u}{\partial x^3} = 0. $$
Солитоны находят применение в гидродинамике, оптике, теории передачи информации.
При наложении встречных волн одинаковой амплитуды и частоты образуются стоячие волны, характеризующиеся узлами и пучностями. В резонаторе (например, струне или трубке) стоячие волны возбуждаются только на определённых частотах, соответствующих резонансным модам, определяемым длиной и граничными условиями:
$$ L = n\frac{\lambda}{2}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots $$
Резонанс играет ключевую роль в акустике, радиотехнике, квантовой физике.