Рассеяние электромагнитного излучения

Рассмотрим электромагнитное излучение, падающее на объект, размеры которого соизмеримы или меньше длины волны. Задача рассеяния заключается в нахождении электромагнитного поля, создаваемого телом под действием падающей волны, и, в частности, характеристик рассеянной волны.

Поле в области вне тела состоит из двух слагаемых:

  • падающая волна (известная по формулировке задачи),
  • рассеянная волна (неизвестная, которую необходимо определить).

Макроскопические уравнения Максвелла применимы вне тела, где отсутствуют источники:

$$ \begin{aligned} &\nabla \cdot \mathbf{E} = 0,\quad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,\\ &\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},\\ &\nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. \end{aligned} $$

В задаче рассеяния обычно предполагается гармоническая зависимость по времени:

E(r, t) = Re[E(r)e−iωt],  B(r, t) = Re[B(r)e−iωt],

что приводит к волновым уравнениям для комплексных амплитуд.

Граничные условия

Электромагнитное поле должно удовлетворять граничным условиям на поверхности рассеивателя:

  • Непрерывность касательных компонент поля:

[E∥] = 0,  [H∥] = 0.

  • В случае идеального проводника:

E∥ = 0  на границе тела.

Также требуется радиационное условие Соммерфельда: рассеянная волна на бесконечности должна убывать как расходящаяся сферическая волна:

$$ \mathbf{E}_\text{расс}(\mathbf{r}) \sim \frac{e^{ikr}}{r}, \quad r \rightarrow \infty. $$

Классификация задач рассеяния

  1. Рассеяние на малых объектах (дипольное приближение, Рэлеевское рассеяние): объект мал по сравнению с длиной волны.
  2. Рассеяние на телах конечных размеров: используется либо метод разложения по мультиполям, либо численные методы.
  3. Механизм Ми и оптическое рассеяние: объекты имеют размеры, сравнимые с длиной волны.

Рэлеевское рассеяние

Рассмотрим диэлектрическую сферу малого радиуса a ≪ λ. В этом приближении рассеяние описывается наведённым электрическим диполем.

Плотность наведённого дипольного момента:

p = αE0,

где α — поляризуемость сферы.

Для однородной диэлектрической сферы радиуса a и диэлектрической проницаемости ε:

$$ \alpha = 4\pi \varepsilon_0 a^3 \cdot \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2}. $$

Рассеянное поле соответствует дипольному излучению. Интенсивность рассеянного излучения:

$$ I(\theta) \propto \left| \mathbf{E}_\text{расс} \right|^2 \propto \frac{\omega^4 a^6}{c^4 r^2} \cdot \left| \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2} \right|^2 \cdot \sin^2 \theta. $$

Полный поток рассеянной энергии (мощность):

$$ P_\text{расс} \propto \omega^4 a^6 \left| \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2} \right|^2. $$

Характерная зависимость  ∝ ω4 объясняет, например, синий цвет неба (коротковолновое рассеяние сильнее).

Рассеяние Ми

Если размеры объекта соизмеримы с длиной волны, применяется полная теория Ми — решение уравнений Максвелла с граничными условиями для сферической симметрии. Падающая плоская волна представляется как сумма сферических волн. Решение выражается через разложение в сферические функции Бесселя и функции Ханкеля.

Сечение рассеяния имеет сложную спектральную структуру:

$$ \sigma_\text{расс} = \frac{2\pi}{k^2} \sum_{n=1}^\infty (2n+1)\left( |a_n|^2 + |b_n|^2 \right), $$

где коэффициенты an, bn определяются через сферические функции и зависят от параметров ka, ε, μ.

Геометрическая оптика

В пределе a ≫ λ применима аппроксимация геометрической оптики. Рассеяние описывается законами отражения и преломления. При этом интерференционные эффекты дают вклад в дифракционные картины. В этом режиме наблюдаются такие явления, как:

  • Радуга — интерференция света, преломлённого внутри капли воды.
  • Глория — дифракция света на каплях тумана.

Рассеяние на решётках и кристаллах

Для периодических структур (оптических решёток, кристаллов) рассеяние подчиняется закону Брэгга:

2dsin θ = mλ,

где d — межплоскостное расстояние, θ — угол между падающим и отражённым пучком, m ∈ ℤ.

Эффект используется в рентгеноструктурном анализе. Рассеяние когерентное, интерференция волн от разных узлов усиливает определённые направления.

Механизмы рассеяния в веществе

В реальных средах рассеяние может быть:

  • Эластичным (Рэлеевским) — частота не меняется.
  • Неэластичным (Рамановским) — изменение частоты за счёт взаимодействия с колебаниями молекул.
  • Брэгговским — при наличии периодической структуры.

Также возможны:

  • Тормозное рассеяние (Брэмсстратлунг) — при ускорении заряженных частиц.
  • Комптоновское рассеяние — взаимодействие фотонов с электронами, с изменением длины волны.

Диаграммы направленности

Характер пространственного распределения рассеянной энергии описывается диаграммой направленности. Она зависит от формы, размеров и свойств тела. Для дипольного рассеяния:

I(θ) ∝ sin2θ,

что соответствует максимуму рассеяния в плоскости, перпендикулярной диполю, и минимуму вдоль оси.

Для более сложных форм — многополюсные распределения, численно моделируемые методами:

  • конечных разностей во времени (FDTD),
  • метода моментов (MoM),
  • метода рассеяния на телах сложной формы (T-matrix, Mie, etc.).

Сечения рассеяния

Величина, характеризующая эффективность рассеяния — сечение рассеяния σ. Различают:

  • Дифференциальное сечение $\frac{d\sigma}{d\Omega}$: энергия, рассеянная в элемент телесного угла.
  • Полное сечение: интеграл по всем направлениям.

Также вводят эффективные сечения:

  • Сечение экстинкции: рассеяние + поглощение.
  • Сечение поглощения: энергия, преобразованная в другие виды (тепло, излучение др. частот).

Эти параметры используются в оптике, радиофизике, астрофизике.

Практическое значение

Явления рассеяния играют ключевую роль в широком круге приложений:

  • Оптические свойства атмосферы и фотометрия;
  • Нанофотоника и сенсоры;
  • Медицинская диагностика (оптическая томография);
  • Радиолокация и радиозондирование;
  • Рентгенодифракционные методы.

Теория рассеяния объединяет электродинамику, квантовую механику, статистическую физику и методы численного анализа.

Оглавление