Формализм задачи рассеяния
В квантовой механике задача рассеяния состоит в изучении поведения волновой функции частицы при наличии взаимодействия с потенциальным барьером или полем. Пусть потенциальное поле V(r) локализовано в пространстве, то есть стремится к нулю на бесконечности. На больших расстояниях от области действия потенциала частица ведёт себя как свободная. Начальное состояние частицы описывается плоской волной, распространяющейся вдоль некоторого направления. В результате взаимодействия с потенциалом появляется рассеянная волна, уходящая на бесконечность.
Общая задача формулируется следующим образом: найти асимптотическое поведение волновой функции ψ(r) при r → ∞, удовлетворяющей стационарному уравнению Шрёдингера
$$ \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) \right] \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}), $$
где энергия $E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$ положительна, соответствуя непрерывному спектру.
Асимптотическая форма волновой функции
На больших расстояниях от центра потенциала решение уравнения Шрёдингера можно представить в виде суперпозиции падающей плоской волны и расходящейся сферической волны:
$$ \psi(\mathbf{r}) \xrightarrow{r \to \infty} e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} + f(\theta, \varphi) \frac{e^{ikr}}{r}, $$
где f(θ, φ) — амплитуда рассеяния, зависящая от направления рассеяния. Первый член — падающая волна, второй — рассеянная.
Дифференциальное и полное сечения
Вероятность рассеяния на телесный угол dΩ даётся выражением
$$ \frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\theta, \varphi)|^2. $$
Полное сечение получается интегрированием по всем направлениям:
σ = ∫|f(θ, φ)|2dΩ.
Уравнение Липпмана–Швингера
Переход к операторной форме позволяет выразить решение задачи через формализм теории возмущений. Уравнение Липпмана–Швингера в интегральной форме:
ψ(+)(r) = ϕk(r) + ∫G0(+)(r, r′)V(r′)ψ(+)(r′)d3r′,
где ϕk(r) = eik ⋅ r — свободное решение, G0(+) — зелёновская функция свободного оператора Гамильтона:
$$ G^{(+)}_0(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = -\frac{m}{2\pi \hbar^2} \frac{e^{ik|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}. $$
Это уравнение даёт возможность построения волновой функции итеративно — важный инструмент в теории возмущений.
Формула Борна
Если потенциал достаточно слаб, можно ограничиться первым членом разложения волновой функции в уравнении Липпмана–Швингера. Тогда получаем первое приближение Борна:
$$ f(\theta, \varphi) \approx -\frac{2m}{4\pi \hbar^2} \int e^{-i\mathbf{q} \cdot \mathbf{r}} V(\mathbf{r}) d^3 r, $$
где q = k′ − k — вектор переноса импульса.
Это преобразование Фурье потенциала даёт амплитуду рассеяния в первом приближении. При центральном потенциале V(r) = V(r) формула упрощается, и амплитуда зависит только от угла рассеяния.
Парциальные волны и разложение в сферических гармониках
Для центральных потенциалов удобен метод парциальных волн. Волновая функция представляется в виде:
$$ \psi(\mathbf{r}) = \sum_{\ell=0}^\infty (2\ell + 1) i^\ell R_\ell(r) P_\ell(\cos\theta), $$
где Rℓ(r) — радиальные функции, а Pℓ — полиномы Лежандра. Решение уравнения Шрёдингера сводится к нахождению Rℓ(r), удовлетворяющих уравнению:
$$ \left[ \frac{d^2}{dr^2} + k^2 - \frac{\ell(\ell + 1)}{r^2} - \frac{2m}{\hbar^2} V(r) \right] R_\ell(r) = 0. $$
На бесконечности решения имеют вид:
$$ R_\ell(r) \xrightarrow{r \to \infty} \sin\left( kr - \frac{\ell\pi}{2} + \delta_\ell \right), $$
где δℓ — фаза рассеяния, характеризующая влияние потенциала на каждую парциальную волну.
Асимптотическое выражение полной волновой функции:
$$ \psi(\mathbf{r}) \xrightarrow{r \to \infty} \sum_{\ell=0}^\infty (2\ell + 1) \frac{e^{i(kr - \ell\pi/2)}}{kr} \sin \delta_\ell P_\ell(\cos\theta). $$
Отсюда следует выражение для амплитуды рассеяния:
$$ f(\theta) = \sum_{\ell=0}^\infty (2\ell + 1) \frac{e^{i\delta_\ell} \sin\delta_\ell}{k} P_\ell(\cos\theta). $$
Оптическая теорема
Важный результат — оптическая теорема, устанавливающая связь между мнимой частью амплитуды рассеяния в прямом направлении и полным сечением:
$$ \sigma = \frac{4\pi}{k} \operatorname{Im} f(0). $$
Это выражение служит критерием самосогласованности приближённых методов расчёта.
Резонансное рассеяние
При определённых значениях энергии может наблюдаться резкое увеличение полного сечения — резонанс. Это связано с наличием метастабильного состояния в системе, когда частица на короткое время “захватывается” потенциалом. В области резонанса фаза δℓ быстро меняется на π, и амплитуда рассеяния принимает форму, аналогичную лоренцевскому пику:
$$ f(E) \sim \frac{\Gamma/2}{E_R - E - i\Gamma/2}, $$
где ER — энергия резонанса, Γ — его ширина.
Рассеяние на сферическом потенциале
Для потенциала с чёткой границей (например, сферический шаг), задача рассеяния может быть решена точно. Пусть
$$ V(r) = \begin{cases} -V_0, & r < a, \\ 0, & r \geq a. \end{cases} $$
Внутри и вне сферы решение уравнения Шрёдингера ищется в виде сферических функций Бесселя и Неймана. Непрерывность функции и её производной на границе r = a позволяет найти фазу рассеяния δℓ, из которой определяется амплитуда.
При малых энергиях преобладает s-волна (ℓ = 0), и можно ввести с длину рассеяния as, определяющую низкоэнергетическое поведение:
f(θ) ≈ −as.
Потенциальное рассеяние и эффект Рамсея
Реальные задачи квантового рассеяния включают эффекты спин-орбитального взаимодействия, мультипольных возбуждений, структурных резонансов. Особенно интересны задачи рассеяния в атомной и ядерной физике, где волновая природа частицы играет ключевую роль.
Теория рассеяния применяется также в обратной задаче — определении структуры потенциала по экспериментально измеренному амплитудному распределению, что составляет важный раздел ядерной и молекулярной физики.