Основные уравнения релятивистской динамики
В специальной теории относительности центральное место занимает понятие четырёхмерного пространства-времени, в котором физические законы формулируются с использованием тензоров и четырёхвекторов. Классические понятия силы, импульса и энергии модифицируются таким образом, чтобы сохраняться при преобразованиях Лоренца и соответствовать принципу относительности.
Четырёх-импульс и энергия частицы
Импульс и энергия объединяются в единый четырёхвектор импульса:
$$ p^{\mu} = \left( \frac{E}{c}, \mathbf{p} \right), $$
где E — энергия частицы, p — её трёхмерный импульс, c — скорость света. Компоненты этого вектора преобразуются по законам Лоренца. Пространственная часть импульса выражается через скорость следующим образом:
$$ \mathbf{p} = \gamma m \mathbf{v}, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, $$
а энергия частицы:
E = γmc2.
Связь между энергией и импульсом выражается инвариантным соотношением:
E2 = (pc)2 + (mc2)2.
Это уравнение играет фундаментальную роль в релятивистской механике, определяя поведение как массивных, так и безмассовых частиц. В частности, для фотона, обладающего нулевой массой, выполняется E = pc.
Четырёх-сила и уравнение движения
Обобщением второго закона Ньютона в релятивистской механике служит уравнение:
$$ \frac{dp^\mu}{d\tau} = f^\mu, $$
где τ — собственное время частицы, pμ — её четырёх-импульс, fμ — четырёх-сила. В трёхмерной форме уравнение принимает вид:
$$ \frac{d}{dt}(\gamma m \mathbf{v}) = \mathbf{F}, $$
где F — внешняя сила, действующая на частицу. Однако в релятивистской механике следует учитывать, что ускорение и сила больше не коллинеарны, как в классике. Это обусловлено зависимостью γ от скорости. Компоненты ускорения и силы связаны через тензор массы, зависящий от направления.
Работа и мощность в релятивистской динамике
Работа, совершаемая силой, изменяет энергию частицы. В релятивистском случае:
$$ \frac{dE}{dt} = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}. $$
Это выражение совпадает с классическим, однако F и v должны быть релятивистскими величинами. Следовательно, работа также подчиняется законам преобразования Лоренца.
Динамика систем частиц
В релятивистской механике импульс и энергия системы частиц определяются как сумма соответствующих четырёхвекторов:
$$ P^{\mu}_{\text{сист}} = \sum p^{\mu}_i = \left( \frac{E_{\text{сист}}}{c}, \sum \mathbf{p}_i \right). $$
Закон сохранения четырёх-импульса:
∑pдоμ = ∑pпослеμ
используется для анализа релятивистских столкновений, распадов, аннигиляций. Он одновременно выражает сохранение энергии и импульса в любой инерциальной системе отсчёта.
Масса системы и внутренняя энергия
Даже если все составляющие частицы системы безмассовы (например, фотоны), система в целом может обладать ненулевой инвариантной массой. Инвариантная масса системы определяется как:
M2c4 = Eсист2 − (Pсистc)2.
Таким образом, масса системы включает вклад внутренней энергии, что особенно важно при рассмотрении замкнутых термодинамических или связанных квантовых систем.
Релятивистская кинетическая энергия
Кинетическая энергия релятивистской частицы определяется как:
T = E − mc2 = (γ − 1)mc2.
Это выражение корректно переходит в классическое $T \approx \frac{1}{2}mv^2$ при v ≪ c. Однако при больших скоростях энергия стремится к бесконечности, что означает невозможность достижения скорости света для массивных частиц при конечной затрате энергии.
Уравнение движения в электромагнитном поле
Релятивистская частица, движущаяся в электромагнитном поле, подчиняется следующему уравнению:
$$ \frac{dp^\mu}{d\tau} = \frac{q}{c} F^{\mu\nu} u_\nu, $$
где q — заряд частицы, Fμν — тензор электромагнитного поля, uν — четырёх-скорость. В трёхмерной форме оно эквивалентно обобщенному закону Лоренца:
$$ \frac{d}{dt}(\gamma m \mathbf{v}) = q \left( \mathbf{E} + \frac{\mathbf{v}}{c} \times \mathbf{B} \right). $$
Это уравнение сохраняет лоренц-инвариантность и применяется для описания динамики заряженных частиц в ускорителях и астрофизических процессах.
Безмассовые частицы
Для безмассовых частиц (фотонов, гравитонов) четырёх-импульс определяется с условием pμpμ = 0. Такие частицы всегда движутся со скоростью c и не обладают покоящейся массой. Однако они несут импульс и энергию:
$$ E = pc, \quad p = \frac{h \nu}{c}, $$
где ν — частота, h — постоянная Планка. Это фундаментальное свойство лежит в основе квантовой теории поля и описания излучения.
Динамика в системе центра масс
Система центра масс (СЦМ) в релятивистской механике определяется как система, в которой суммарный трёхимпульс равен нулю: ∑pi = 0. В СЦМ удобно анализировать упругие и неупругие столкновения, распады частиц, поскольку в этой системе легко вычислять инвариантную массу системы и переходить к другим системам отсчёта с помощью преобразований Лоренца.
Собственное время и четырёх-ускорение
Четырёх-ускорение определяется как производная четырёх-скорости по собственному времени:
$$ a^\mu = \frac{d u^\mu}{d \tau}. $$
Оно всегда ортогонально четырёх-скорости:
aμuμ = 0.
Это геометрическое свойство указывает на то, что четырёх-ускорение лежит в гиперплоскости, ортогональной мировой линии частицы, и играет ключевую роль в геометрической интерпретации движения.
Релятивистские законы сохранения
Закон сохранения импульса и энергии остаётся справедливым во всех инерциальных системах отсчёта при условии, что величины p и E определены релятивистским образом. Кроме того, при наличии симметрий пространства-времени (гомогенность, изотропность) в рамках теоремы Нётер сохраняются соответствующие физические величины: энергия, импульс, момент импульса. Это служит глубокой связью между симметриями и законами сохранения, как в классической, так и в релятивистской теоретической физике.