Преобразования координат и времени. Собственные и лабораторные системы отсчёта
В релятивистской кинематике основой анализа движения является переход от одной инерциальной системы отсчёта к другой с использованием преобразований Лоренца. Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта: система S (лабораторная) и система S′ (собственная), движущаяся относительно S вдоль оси x с постоянной скоростью v. Тогда преобразования координат и времени имеют вид:
$$ x' = \gamma(x - vt), \quad y' = y, \quad z' = z, \quad t' = \gamma\left(t - \frac{vx}{c^2}\right), $$
где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ — фактор Лоренца, c — скорость света в вакууме.
Обратные преобразования:
$$ x = \gamma(x' + vt'), \quad y = y', \quad z = z', \quad t = \gamma\left(t' + \frac{vx'}{c^2}\right). $$
Преобразования Лоренца сохраняют интервал:
s2 = c2t2 − x2 − y2 − z2 = c2t′2 − x′2 − y′2 − z′2.
Это инвариант — фундаментальное свойство пространства-времени в специальной теории относительности.
Релятивистское сложение скоростей
В отличие от ньютоновской механики, в релятивистской кинематике правило сложения скоростей выводится из преобразований Лоренца. Если тело движется в системе S′ со скоростью u⃗′ = (ux′, uy′, uz′), а система S′ движется вдоль оси x относительно S со скоростью v, то в системе S компоненты скорости u⃗ определяются выражениями:
$$ u_x = \frac{u_x' + v}{1 + \frac{vu_x'}{c^2}}, \quad u_y = \frac{u_y'}{\gamma\left(1 + \frac{vu_x'}{c^2}\right)}, \quad u_z = \frac{u_z'}{\gamma\left(1 + \frac{vu_x'}{c^2}\right)}. $$
Это выражение гарантирует, что никакая результирующая скорость не превысит скорость света.
Собственное время и интервал между событиями
Собственное время τ — это время, измеренное в системе отсчёта, в которой частица покоится. Связь между собственным временем и координатным временем определяется через интервал:
$$ d\tau = \sqrt{dt^2 - \frac{1}{c^2}(dx^2 + dy^2 + dz^2)} = dt \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{dt}{\gamma}. $$
Таким образом, движущиеся часы идут медленнее по сравнению с часами в системе покоя — эффект замедления времени.
Релятивистский закон движения
Рассмотрим движение частицы массой m, её координаты — функции времени: r⃗(t). В классической механике скорость определяется как v⃗ = dr⃗/dt, но в релятивистской теории вводится четырёхмерный подход, где используется четырёх-вектор скорости:
$$ u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} = \gamma(c, \vec{v}), $$
где xμ = (ct, r⃗), а v⃗ = dr⃗/dt — трёхмерная скорость.
Соответственно, четырёх-импульс частицы:
pμ = muμ = (γmc, γmv⃗).
Модуль четырёх-импульса инвариантен:
pμpμ = (mc)2.
Релятивистская кинетическая энергия определяется как разность полной энергии и энергии покоя:
E = γmc2, Eкин = E − mc2 = (γ − 1)mc2.
Инварианты релятивистской кинематики
Одним из важнейших понятий релятивистской кинематики является инвариантность скалярного произведения четырёх-векторов. Для двух четырёх-векторов Aμ и Bμ их скалярное произведение определяется как:
AμBμ = A0B0 − A⃗ ⋅ B⃗.
Такое скалярное произведение сохраняется при преобразованиях Лоренца и определяет инвариантные физические величины. В частности, интервал s2, четырёх-импульс pμ, четырёх-скорость uμ — все они подчиняются этой инвариантности.
Релятивистская динамика систем частиц
Важным следствием релятивистской кинематики является обобщение закона сохранения импульса и энергии на случай систем частиц. Для замкнутой системы справедливы:
∑ipiμ = const,
что означает сохранение полной четырёх-энергии и четырёх-импульса. Это фундаментальный принцип, лежащий в основе анализа всех элементарных взаимодействий.
Рассмотрим столкновение двух частиц масс m1 и m2. Пусть в начальный момент их четырёх-импульсы равны p1μ и p2μ. В результате взаимодействия они переходят в систему с четырёх-импульсом Pμ = p1μ + p2μ. Инвариант массы результирующей системы:
M2c2 = PμPμ = (E1 + E2)2 − (p⃗1 + p⃗2)2c2.
Эта величина сохраняется при любых преобразованиях и позволяет анализировать взаимодействия в различных системах отсчёта.
Центр масс и система центра масс в релятивистской механике
Система центра масс (СЦМ) определяется как система, в которой сумма пространственных компонент четырёх-импульсов всех частиц равна нулю:
∑p⃗i = 0.
В этой системе энергия системы минимальна, а анализ процессов (столкновений, распадов) упрощается.
Для перехода в СЦМ используется релятивистское преобразование Лоренца с соответствующей скоростью V⃗СЦМ, которую можно найти из условия:
$$ \vec{V}_{\text{СЦМ}} = \frac{\sum \vec{p}_i}{\sum E_i/c^2}. $$
Релятивистский доплеровский эффект и аберрация света
Пусть источник света движется со скоростью v по направлению к наблюдателю. Тогда наблюдаемая частота ν связана с частотой ν0, излучённой в системе покоя источника, соотношением:
$$ \nu = \nu_0 \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}, \quad \beta = \frac{v}{c}. $$
Если движение под углом θ, то используется обобщённая формула:
$$ \nu = \nu_0 \frac{\sqrt{1 - \beta^2}}{1 - \beta \cos\theta}. $$
Сопутствующий эффект — аберрация света, то есть изменение направления распространения света в движущейся системе:
$$ \cos\theta' = \frac{\cos\theta - \beta}{1 - \beta \cos\theta}. $$
Релятивистская трактовка причинности
Поскольку интервал между событиями инвариантен, его знак имеет физическое значение. Интервал может быть:
Это разделение определяет структуру пространства-времени и допустимые траектории физических процессов.
Траектория и мировая линия
В релятивистской кинематике используется понятие мировой линии — траектории частицы в пространстве-времени. Каждой точке мировой линии соответствует событие. Геометрия мировой линии характеризует состояние движения: покой, равномерное движение, ускорение.
Длина мировой линии между двумя событиями в случае материальной частицы определяется её собственным временем, что подчёркивает геометрическую природу времени в специальной теории относительности.