Релятивистская механика сплошных сред представляет собой обобщение классической механики непрерывных сред в рамках специальной теории относительности. Центральной задачей этой теории является описание движения и взаимодействия сплошных сред (жидкостей, газов, упругих тел) в условиях, когда скорости частиц среды сравнимы со скоростью света, а также в тех случаях, когда плотности энергии столь велики, что необходимо учитывать вклад энергии в массу.
В релятивистской теории основными переменными являются четырёхмерные координаты пространства-времени:
xi = (x0, x1, x2, x3) = (ct, x⃗), i = 0, 1, 2, 3.
Метрика Минковского имеет вид:
ηij = diag(1, −1, −1, −1),
и используется для поднятия и опускания индексов, а также для скалярных произведений.
Производная по пространственно-временным координатам:
$$ \partial_i = \frac{\partial}{\partial x^i} = \left( \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \nabla \right). $$
Каждая точка сплошной среды обладает четырёхскоростью:
$$ u^i = \frac{dx^i}{d\tau}, \quad u^i u_i = c^2, $$
где τ — собственное время наблюдаемой частицы среды. В системе, связанной с элементом среды (сопутствующая система отсчета), четырёхскорость принимает вид ui = (c, 0, 0, 0).
Основной динамической величиной является тензор энергии-импульса Tij, который содержит информацию о плотности энергии, потоке импульса и напряжениях в среде. Для идеальной жидкости он имеет форму:
$$ T^{ij} = \left( \varepsilon + p \right) \frac{u^i u^j}{c^2} - p \eta^{ij}, $$
где ε — полная (включая массу) плотность энергии в сопутствующей системе, p — давление. Термодинамически допустимое состояние требует ε > 0, p ≥ 0.
Фундаментальными уравнениями динамики являются законы сохранения энергии и импульса, записываемые в виде:
∂jTij = 0.
Эти четыре уравнения (по одному на каждый индекс i) описывают эволюцию сплошной среды в пространственно-временном континууме.
В дополнение к ним добавляется уравнение сохранения числа частиц (или массы, при необходимости):
∂i(nui) = 0,
где n — плотность числа частиц в сопутствующей системе.
Для анализа динамики полезно проектировать уравнения ∂jTij = 0 на направления, параллельные и ортогональные четырёхскорости ui. В частности, проекция на ui даёт уравнение энергии:
$$ u_i \partial_j T^{ij} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{d\varepsilon}{d\tau} + \left( \varepsilon + p \right) \partial_i u^i = 0, $$
где d/dτ = ui∂i — производная по собственному времени.
Ортогональная проекция даёт релятивистское обобщение уравнения Эйлера:
$$ \left( \varepsilon + p \right) u^j \partial_j u^i = -\left( \eta^{ij} - \frac{u^i u^j}{c^2} \right) \partial_j p. $$
Для замыкания системы уравнений необходима термодинамическая связь между ε, p, n и другими переменными. В простейшем случае рассматривается баротропная жидкость, в которой p = p(ε) или, в кинетической модели, используется уравнение состояния идеального релятивистского газа:
ε = 3p (ультрaрелятивистский предел),
$$ \varepsilon = nmc^2 + \frac{3}{2}nkT \quad \text{(нералятивистский предел)}. $$
Полная термодинамика в релятивистской теории требует учета энтропии s и температуры T, а также уравнения второго начала термодинамики:
∂i(sui) ≥ 0,
что гарантирует неубывание энтропии в замкнутой системе.
Для реальных жидкостей необходимо учитывать отклонения от идеальности. В этом случае тензор энергии-импульса обобщается до:
$$ T^{ij} = \left( \varepsilon + p \right) \frac{u^i u^j}{c^2} - p \eta^{ij} + \pi^{ij}, $$
где πij — вязкие напряжения, удовлетворяющие условиям:
uiπij = 0, πii = 0.
Модель Ландау-Лифшица и модель Экккарта дают различные формы для πij и связанного с ним тока тепла qi, в зависимости от выбора системы отсчета (по потоку энергии или по потоку частиц).
Один из важнейших феноменов в релятивистской гидродинамике — наличие ударных волн, при которых физические величины испытывают разрывы. Условия на скачке формулируются как непрерывность потока энергии-импульса и числа частиц через гиперповерхность скачка:
[Tijnj] = 0, [nuini] = 0,
где ni — нормаль к гиперповерхности разрыва, а квадратные скобки обозначают разность величин по обе стороны фронта.
Линеаризация уравнений движения около равновесного состояния приводит к уравнениям релятивистской акустики. Скорость звука определяется как:
$$ c_s^2 = \left( \frac{\partial p}{\partial \varepsilon} \right)_{s/n} c^2. $$
Для соблюдения причинности необходимо, чтобы cs < c, что накладывает ограничение на допустимые уравнения состояния.
Рассмотрим осесимметричный релятивистский поток, например, в задачах астрофизики (аккреция на черные дыры). В такой системе уравнения сохраняют стационарность и симметрию, и приводят к уравнениям Бернулли с релятивистскими поправками. Анализ устойчивости таких потоков требует спектрального разложения возмущений и может показать наличие нестабильностей, приводящих к образованию ударных волн, турбулентности или резких температурных градиентов.
Другим примером являются релятивистские вихри и джеты, которые возникают в активных галактических ядрах и пульсарах. Их моделирование требует численного решения полной системы релятивистской гидродинамики.
В случае, когда искривление пространства-времени не может быть пренебрежимо малым, релятивистская механика сплошных сред переходит в общерелятивистскую гидродинамику. Уравнения сохраняют свою структуру, но производные заменяются на ковариантные:
∇jTij = 0,
а метрика ηij заменяется на произвольную метрику gij(x), удовлетворяющую уравнениям Эйнштейна:
$$ G^{ij} = \frac{8\pi G}{c^4} T^{ij}. $$
Таким образом, релятивистская механика сплошных сред является необходимым звеном при изучении как теоретической физики высоких энергий, так и астрофизических и космологических явлений.